Qポッホハマー記号

数学において、qポッホハマー記号(英: q-Pochhammer symbol)はq-類似の数式に頻出する乗積を略記する記号である[1][2][3]。

( a ; q ) ∞ := ∏ k = 0 ∞ ( 1 − a q k ) ( a ; q ) n := ( a ; q ) ∞ ( a q n ; q ) ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}&(a;q)_{\infty }:=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})\\&(a;q)_{n}:={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}}\\\end{aligned}}}

| q | < 1 {\displaystyle |q|<1} の仮定が普通であり、実用上、 n {\displaystyle n} は整数であることが多い。 n {\displaystyle n} が整数である場合は

( a ; q ) n = { ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − a q k ) n > 0 1 n = 0 ∏ k = n − 1 1 ( 1 − a q k ) n < 0 {\displaystyle (a;q)_{n}={\begin{cases}\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})&n>0\\1&n=0\\\displaystyle \prod _{k=n}^{-1}{\frac {1}{(1-aq^{k})}}&n<0\\\end{cases}}}

となる。 m , n {\displaystyle m,n} が整数であり、 a = q − m {\displaystyle a=q^{-m}} であるとき、 0 ≤ m < n {\displaystyle 0{\leq }m<n} であれば ( q − m ; q ) n = 0 {\displaystyle (q^{-m};q)_{n}=0} であり、 n ≤ m < 0 {\displaystyle n{\leq }m<0} であれば ( q − m ; q ) n {\displaystyle (q^{-m};q)_{n}} である。

更なる略記

基底 (base) が文字 q {\displaystyle q} である場合は省略することがある。

( a ) n = ( a ; q ) n ( q ) n = ( q ; q ) n {\displaystyle {\begin{aligned}&(a)_{n}=(a;q)_{n}\\&(q)_{n}=(q;q)_{n}\\\end{aligned}}}

複数のqポッホハマー記号が並ぶときは合成することがある。

( a , b , c ) n = ( a , b , c ; q ) n := ( a ; q ) n ( b ; q ) n ( c ; q ) n {\displaystyle {\begin{aligned}&(a,b,c)_{n}=(a,b,c;q)_{n}:=(a;q)_{n}(b;q)_{n}(c;q)_{n}\\\end{aligned}}}

変換式

以下の変換式が成立する。

( a q − n + 1 ; q ) n = ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − a q − n + 1 + k ) = ( − a ) n q − n ( n − 1 ) / 2 ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − q n − 1 − k a ) = ( − a ) n q − n ( n − 1 ) / 2 ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − q k a ) ( n − 1 − k ↦ n ) = ( − a ) n q − n ( n − 1 ) / 2 ( 1 a ; q ) n {\displaystyle {\begin{aligned}(aq^{-n+1};q)_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{-n+1+k})\\&=(-a)^{n}q^{-n(n-1)/2}\prod _{k=0}^{n-1}\left(1-{\frac {q^{n-1-k}}{a}}\right)\\&=(-a)^{n}q^{-n(n-1)/2}\prod _{k=0}^{n-1}\left(1-{\frac {q^{k}}{a}}\right)\qquad (n-1-k{\mapsto }n)\\&=(-a)^{n}q^{-n(n-1)/2}\left({\dfrac {1}{a}};q\right)_{n}\end{aligned}}}

qブラケット

qブラケット (英: q-bracket) は整数、実数、複素数などのq-類似を表す記号である[4]。

[ n ] = [ n ] q := 1 − q n 1 − q = ∑ k = 0 n − 1 q k . {\displaystyle [n]=[n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=\sum _{k=0}^{n-1}q^{k}.}

q階乗

q階乗 (英: q-factorial) は階乗のq-類似である[3][5]。（分母は普通の冪乗であることを為念）

[ n ] q ! := ∏ k = 1 n [ k ] q = ( q ; q ) n ( 1 − q ) n . {\displaystyle [n]_{q}!:=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}

q二項係数

q二項係数 (英: q-binomial coefficient) は二項係数のq-類似である[3][6]。

[ n k ] q := [ n ] q ! [ n − k ] q ! [ k ] q ! = ( q ; q ) n ( q ; q ) n − k ( q ; q ) k . {\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}={\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{n-k}(q;q)_{k}}}.}

出典

  1. ^ Wolfram Mathworld: q-Pochhammer Symbol
  2. ^ Andrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (2000). Special functions. Cambridge university press.
  3. ^ a b c Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. Cambridge university press.
  4. ^ Wolfram Mathworld: q-Bracket
  5. ^ Wolfram Mathworld: q-Factorial
  6. ^ Wolfram Mathworld: q-Binomial Coefficient

関連項目

  • en:q-gamma function
  • en:Jackson's q-Bessel function
  • en:Hahn-Exton q-Bessel function
  • qテータ関数（英語版）