数学において、qポッホハマー記号(英: q-Pochhammer symbol)はq-類似の数式に頻出する乗積を略記する記号である[1][2][3]。
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(a;q)_{\infty }:=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})\\&(a;q)_{n}:={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c697d7b761fc748daea3fc6cc1edf2c914643fd8)
の仮定が普通であり、実用上、
は整数であることが多い。
が整数である場合は
![{\displaystyle (a;q)_{n}={\begin{cases}\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})&n>0\\1&n=0\\\displaystyle \prod _{k=n}^{-1}{\frac {1}{(1-aq^{k})}}&n<0\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88feb9c1f0b35ac9363d1e8ba73182e8223e9f1)
となる。
が整数であり、
であるとき、
であれば
であり、
であれば
である。
更なる略記
基底 (base) が文字
である場合は省略することがある。
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(a)_{n}=(a;q)_{n}\\&(q)_{n}=(q;q)_{n}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0697646037c82a0d3923658409609fbe656ce221)
複数のqポッホハマー記号が並ぶときは合成することがある。
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(a,b,c)_{n}=(a,b,c;q)_{n}:=(a;q)_{n}(b;q)_{n}(c;q)_{n}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b55da4af6b17620320289ad5bd71f4aa4bb1493)
変換式
以下の変換式が成立する。
![{\displaystyle {\begin{aligned}(aq^{-n+1};q)_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{-n+1+k})\\&=(-a)^{n}q^{-n(n-1)/2}\prod _{k=0}^{n-1}\left(1-{\frac {q^{n-1-k}}{a}}\right)\\&=(-a)^{n}q^{-n(n-1)/2}\prod _{k=0}^{n-1}\left(1-{\frac {q^{k}}{a}}\right)\qquad (n-1-k{\mapsto }n)\\&=(-a)^{n}q^{-n(n-1)/2}\left({\dfrac {1}{a}};q\right)_{n}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7185e0bb0dc9001643dcb7b5b90130944e14c016)
qブラケット
qブラケット (英: q-bracket) は整数、実数、複素数などのq-類似を表す記号である[4]。
![{\displaystyle [n]=[n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=\sum _{k=0}^{n-1}q^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b96c3f19d1a9b05aa90f077e854e3e98d4369fdd)
q階乗
q階乗 (英: q-factorial) は階乗のq-類似である[3][5]。(分母は普通の冪乗であることを為念)
![{\displaystyle [n]_{q}!:=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2943ccbe43bd658e43bfd06a27b9234594f10c40)
q二項係数
q二項係数 (英: q-binomial coefficient) は二項係数のq-類似である[3][6]。
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}={\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{n-k}(q;q)_{k}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cac5f8f78727e79feeaa3e14a01909f62b3a5f4)
出典
- ^ Wolfram Mathworld: q-Pochhammer Symbol
- ^ Andrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (2000). Special functions. Cambridge university press.
- ^ a b c Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. Cambridge university press.
- ^ Wolfram Mathworld: q-Bracket
- ^ Wolfram Mathworld: q-Factorial
- ^ Wolfram Mathworld: q-Binomial Coefficient
関連項目
- en:q-gamma function
- en:Jackson's q-Bessel function
- en:Hahn-Exton q-Bessel function
- qテータ関数(英語版)