In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een dicyclische groep een element van een klasse van groepen
met
, een niet-abelse groep met orde
, die een uitbreiding is van de cyclische groep van orde 2 met een cyclische groep van even orde
, wat de groep de naam di-cyclisch geeft. In de notatie van exacte rijen van groepen kan deze uitbreiding worden uitgedrukt als
![{\displaystyle 1\to C_{2n}\to \mathrm {Dic} _{n}\to C_{2}\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c65b2de09938d92f4ac36273c17a294790aa34)
Meer in het algemeen kan men, gegeven een abelse groep met een element van orde 2, een dicyclische groep definiëren.
Definitie
De dicyclische groep
met
wordt voortgebracht door twee elementen
en
die aan de volgende presentatie voldoen:
![{\displaystyle {\rm {Dic}}_{n}=\langle a,b\mid a^{2n}=1,b^{2}=a^{n},b^{-1}ab=a^{-1}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d63c9e81c4d06c1258930cc831d550df539a1aa)
Eigenschappen en voorbeelden
- Ieder element van
kan eenduidig worden geschreven als
met
en
of
. - De orde van
is
. - De dicyclische groep
heeft een cyclische ondergroep van de orde
voortgebracht door het element
en een cyclische ondergroep van de orde
voortgebracht door het element
. De ondergroep voortgebracht door
heeft in ieder geval een ondergroep van de orde
voortgebracht door
en afhankelijk van de waarde van
mogelijk nog andere ondergroepen. De ondergroep voortgebracht door
heeft een ondergroep van de orde 2 voortgebracht door
.
, de viergroep van Klein
, de quaternionengroep - Er kunnen aan de hand van de relaties vastgelegd in de presentatie verschillende vermeningvuldigingsregels tussen
en
worden bepaald, bijvoorbeeld
en ![{\displaystyle a^{k}b\,a^{m}b=a^{k-m+n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0789d055b9b682b16eb13e6f3f452dd867a6e41c)
Uitgewerkt voorbeeld
De groep
bestaat uit de 12 elementen:
![{\displaystyle 1,a,a^{2},a^{3},a^{4},a^{5},b,ab,a^{2}b,a^{3}b,a^{4}b,a^{5}b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b586ad2e7021582b6034bbd934f37c91951298e7)
is isomorf met een ondergroep van de quaternionen, of kan worden voorgesteld door de keuze
en
. Er geldt immers:
![{\displaystyle a^{3}=\left({\tfrac {1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{3}={\tfrac {1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}={\tfrac {1}{8}}+i{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{8}}-{\tfrac {9}{8}}-i{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{8}}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/905663d02f6c0c63c0fbf29ea21735245d8e70ae)
dus
![{\displaystyle a^{6}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/339a380471a4e080670204cef73dec69639cb762)
![{\displaystyle b^{2}=-1=a^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69051e360db17ae41ce40e9f221e912bf998282c)
![{\displaystyle b^{-1}a\,b=-j{\tfrac {1}{2}}j-ji{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}j={\tfrac {1}{2}}-i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}=\alpha ^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7034a91d316a494ac6f13bd531728d109a87521)