Gudermannfunctie met asymptoten y = ± π 2 {\displaystyle y=\pm {\frac {\pi }{2}}} Inverse Gudermmannfunctie De Gudermannfunctie , genoemd naar Christoph Gudermann (1798 - 1852), legt een verband tussen de goniometrische functies en de hyperbolische functies zonder expliciet gebruik te maken van complexe getallen.
De Gudermannfunctie wordt gedefinieerd als:
g d ( x ) = ∫ 0 x d p cosh ( p ) {\displaystyle \mathrm {gd} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} p}{\cosh(p)}}} en wordt gebruikt om de grafiek van een loxodroom op een kaart, die met de mercatorprojectie is gemaakt, te tekenen.
Eigenschappen Gelijkwaardige definities zijn:
g d ( x ) = arcsin ( tanh ( x ) ) = arccos ( s e c h ( x ) ) = arctan ( sinh ( x ) ) = a r c s e c ( cosh ( x ) ) = a r c c o t ( c s c h ( x ) ) = a r c c s c ( coth ( x ) ) = 2 arctan ( tanh ( 1 2 x ) ) = 2 arctan ( e x ) − 1 2 π {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathrm {gd} }(x)&=\arcsin(\tanh(x))=\arccos(\mathrm {sech} (x))\\&=\arctan(\sinh(x))=\mathrm {arcsec} (\cosh(x))\\&=\mathrm {arccot} (\mathrm {csch} (x))=\mathrm {arccsc} (\coth(x))\\&=2\arctan(\tanh({\tfrac {1}{2}}x))=2\arctan(e^{x})-{\tfrac {1}{2}}\pi \end{aligned}}} De Gudermannfunctie voldoet aan de volgende gelijkheden:
sin ( g d ( x ) ) = tanh ( x ) en cos ( g d ( x ) ) = s e c h ( x ) tan ( g d ( x ) ) = sinh ( x ) en sec ( g d ( x ) ) = cosh ( x ) cot ( g d ( x ) ) = c s c h ( x ) en csc ( g d ( x ) ) = coth ( x ) tan ( 1 2 g d ( x ) ) = tanh ( 1 2 x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\mathrm {gd} (x))&=\tanh(x)\quad {\text{en}}\quad \cos(\mathrm {gd} (x))=\mathrm {sech} (x)\\\tan(\mathrm {gd} (x))&=\sinh(x)\quad {\text{en}}\quad \sec(\mathrm {gd} (x))=\cosh(x)\\\cot(\mathrm {gd} (x))&=\mathrm {csch} (x)\quad {\text{en}}\quad \csc(\mathrm {gd} (x))=\coth(x)\\\tan({\tfrac {1}{2}}\mathrm {gd} (x))&=\tanh({\tfrac {1}{2}}x)\end{aligned}}}
Inverse De inverse Gudermannfunctie wordt gegeven door:
a r c g d ( x ) = g d − 1 ( x ) = ∫ 0 x d p cos ( p ) = a r c o s h ( sec ( x ) ) = a r c t a n h ( sin ( x ) ) = ln ( sec ( x ) ( 1 + sin ( x ) ) ) = ln ( tan ( x ) + sec ( x ) ) = ln tan ( 1 4 π + 1 2 x ) = 1 2 ln 1 + sin ( x ) 1 − sin ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {arcgd} (x)&={\mathrm {gd} }^{-1}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} p}{\cos(p)}}\\&=\mathrm {arcosh} (\sec(x))=\mathrm {arctanh} (\sin(x))\\&=\ln(\sec(x)(1+\sin(x)))\\&=\ln(\tan(x)+\sec(x))=\ln \tan({\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}x)\\&={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {1+\sin(x)}{1-\sin(x)}}\end{aligned}}}
Afgeleide De afgeleiden van de Gudermannfunctie en de inverse ervan zijn:
d d x g d ( x ) = 1 c o s h ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {gd} (x)={\frac {1}{\mathrm {cosh} (x)}}} en d d x a r c g d ( x ) = 1 cos ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {arcgd} (x)={\frac {1}{\cos(x)}}}