Kwantielfunctie

In de kansrekening en statistiek verstaat men onder de kwantielfunctie van een stochastische variabele ${\displaystyle X}$ de (gegeneraliseerde) inverse functie van de verdelingsfunctie van ${\displaystyle X}$, mits deze inverse functie correct gedefinieerd kan worden. De kwantielfunctie ${\displaystyle Q}$ bepaalt voor een kans ${\displaystyle p}$ het bijbehorende kwantiel ${\displaystyle Q(p)}$ dat het waardenbereik van ${\displaystyle X}$ verdeelt in de fracties ${\displaystyle p}$ kleinere en ${\displaystyle 1-p}$ grotere waarden.

Is dus ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to [0,1]}$ de verdelingsfunctie van ${\displaystyle X}$, en is ${\displaystyle p=F(x)}$ voor een zekere ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, dan wordt de kwantielfunctie ${\displaystyle Q\colon [0,1]\to \mathbb {R} }$ gegeven door:

${\displaystyle Q(p)=F^{-1}(p)=x}$

Het bereik van de verdelingsfunctie ${\displaystyle F}$ kan ook het open interval ${\displaystyle (0,1)}$ zijn. Het gesloten interval in bovenstaande definitie dient dan door dit open interval te worden vervangen.

Als ${\displaystyle F}$ een continue, monotoon stijgende functie is, is ${\displaystyle F^{-1}}$ de inverse functie van de verdelingsfunctie.

${\displaystyle F}$ hoeft echter noch continu, noch monotoon stijgend te zijn. In het geval van bijvoorbeeld een discrete toevalsvariabele ${\displaystyle X}$ bevat de grafiek van de verdelingsfunctie verticale sprongen en is ${\displaystyle F}$ dus niet-continu. Een verdelingsfunctie is monotoon niet-dalend, dus kan ${\displaystyle F}$ ook op bepaalde intervallen constant zijn. In deze gevallen wordt de kwantielfunctie ${\displaystyle Q}$ als volgt gedefinieerd:

${\displaystyle Q(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} \colon p\leq F(x)\}}$

De op ${\displaystyle [0,1]}$ uniform verdeelde toevalsvariabele ${\displaystyle X}$ heeft als verdelingsfunctie ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to [0,1]}$ met:

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0,\quad x\leq 0\\x,\quad 0<x\leq 1\\1,\quad x>1\end{cases}}}$

De bijbehorende kwantielfunctie ${\displaystyle Q\colon [0,1]\to \mathbb {R} }$ wordt gegeven door: ${\displaystyle Q(p)=p}$.

Een tweede voorbeeld is een logistisch verdeelde toevalsvariabele ${\displaystyle X}$ met parameters ${\displaystyle \mu }$ en ${\displaystyle s^{2}}$. De verdelingsfunctie ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to (0,1)}$ wordt gegeven door:

${\displaystyle F(x)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x-\mu }{2s}}\right)}$

Deze verdelingsfunctie is een op ${\displaystyle \mathbb {R} }$ continue, monotoon stijgende functie, waarvan de grafiek een S-vormige kromme is, die sterk lijkt op de grafiek van de verdelingsfunctie van de normale verdeling.

De kwantielfunctie ${\displaystyle Q\colon (0,1)\to \mathbb {R} }$ van deze toevalsvariabele wordt gegeven door:

${\displaystyle Q(p)=\mu +s\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right)}$