Lijnvermenigvuldiging

Een lijnvermenigvuldiging (ook wel axiale vermenigvuldiging) is een afbeelding (transformatie) van het euclidische vlak op zichzelf, waarbij twee vaste rechte lijnen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle r}$, die niet evenwijdig zijn, en een reëel getal ${\displaystyle k\neq 0}$ een rol spelen bij het bepalen van het beeldpunt ${\displaystyle P'}$ van een punt ${\displaystyle P}$ in dat vlak.

Het beeld ${\displaystyle P'=V(P)}$ van ieder punt ${\displaystyle P}$ bij een lijnvermenigvuldiging ${\displaystyle V}$ wordt als volgt bepaald (zie figuur 1):

• Het punt ${\displaystyle O}$ (verderop ter onderscheid, bij een punt ${\displaystyle X}$, ook wel geschreven als ${\displaystyle O_{x}}$) is het snijpunt met de lijn ${\displaystyle a}$ van de lijn ${\displaystyle p}$ die door het punt ${\displaystyle P}$ gaat en die evenwijdig is met de lijn ${\displaystyle r}$.
• Het punt ${\displaystyle P'}$ ligt zó op de lijn ${\displaystyle p}$ dat ${\displaystyle OP'=|\,k\,|\cdot OP}$.
• Als ${\displaystyle k>0}$ is, dan liggen ${\displaystyle P}$ en ${\displaystyle P'}$ aan dezelfde kant van ${\displaystyle O}$. Is ${\displaystyle k<0}$, dan liggen ${\displaystyle P}$ en ${\displaystyle P'}$ aan verschillende kanten van ${\displaystyle O}$ (het punt ${\displaystyle O}$ ligt dan op het lijnstuk ${\displaystyle PP'}$).

De lijn ${\displaystyle a}$ is de affiniteitsas (of collineatie-as) van ${\displaystyle V}$, kortweg ook wel de as van ${\displaystyle V}$. De (richting van de) lijn ${\displaystyle r}$ is de richting van ${\displaystyle V}$. Het getal ${\displaystyle k}$ is de (vermenigvuldigings)factor van ${\displaystyle V}$.

Als ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle r}$ niet loodrecht op elkaar staan, dan is ${\displaystyle V}$ scheef: een scheve lijnvermenigvuldiging ten opzichte van de as ${\displaystyle a}$ met richting ${\displaystyle r}$.

Als ${\displaystyle a}$ loodrecht staat op ${\displaystyle r}$, dan is ${\displaystyle V}$ recht (of orthogonaal): een rechte lijnvermenigvuldiging ten opzichte van de as ${\displaystyle a}$. In dit laatste geval wordt het woord ‘rechte’ soms weggelaten.

Als ${\displaystyle k=1}$ is, is ${\displaystyle V}$ de zogeheten identieke afbeelding: voor ieder punt ${\displaystyle P}$ is dan ${\displaystyle V(P)=P}$.

De factor ${\displaystyle k}$ kan ook worden vastgelegd door een gegeven punt ${\displaystyle R}$ en het beeldpunt ${\displaystyle R'}$ daarvan. Deze punten worden meestal op de lijn ${\displaystyle r}$ gekozen.

Liggen ${\displaystyle R}$ en ${\displaystyle R'}$ daarbij aan verschillende kanten van ${\displaystyle O_{r}}$ (het snijpunt van ${\displaystyle r}$ en ${\displaystyle a}$), dan is ${\displaystyle k}$ negatief; zie figuur 2, waarin ${\displaystyle k\approx -0,46}$.

N.B. Als het getal ${\displaystyle k}$ op deze manier wordt vastgelegd, is de lijnvermenigvuldiging van een punt geheel met passer en (ongemerkte) liniaal uit te voeren. Het op de lijn ${\displaystyle a}$ liggend punt ${\displaystyle S}$ van de verbindingslijn tussen ${\displaystyle R}$ en het te vermenigvuldigen punt ${\displaystyle P}$ speelt daarbij een ‘intermediërende’ rol.

In deze paragraaf is ${\displaystyle V}$ een scheve of rechte lijnvermenigvuldiging t.o.v. de as ${\displaystyle a}$, met richting ${\displaystyle r}$ en met ${\displaystyle k\neq 1}$.

• De lijn ${\displaystyle a}$ is invariant onder ${\displaystyle V}$: voor ieder punt ${\displaystyle S}$ van ${\displaystyle a}$ is ${\displaystyle V(S)=S}$.
• De lijn ${\displaystyle r}$ wordt niet puntsgewijs op zichzelf afgebeeld: voor ieder punt ${\displaystyle R}$ van ${\displaystyle r}$ geldt dat ${\displaystyle R'=V(R)}$ op de lijn ${\displaystyle r}$ ligt, waarbij dan ${\displaystyle R'\neq R}$ (als ${\displaystyle R=O_{r}}$, dan is ${\displaystyle k=0}$, en die waarde is uitgesloten).
• Een rechte lijn wordt door ${\displaystyle V}$ afgebeeld op een rechte lijn. Het snijpunt van een lijn en diens beeldlijn ligt op de lijn ${\displaystyle a}$ (mits die lijn niet evenwijdig is met ${\displaystyle r}$).
• Een deelverhouding ^[1] op een lijnstuk is gelijk aan de (door ${\displaystyle V}$ ingesneden) deelverhouding op het beeldlijnstuk; zie figuur 3, waarin ${\displaystyle (PQD)=(P'Q'D')}$.
• Evenwijdige lijnen worden door ${\displaystyle V}$ afgebeeld op evenwijdige lijnen; zie figuur 4.

Op grond van deze eigenschappen behoren de lijnvermenigvuldigingen tot de zogeheten affiene transformaties van het vlak.

1. Bij grafieken van functies (in een standaard ${\displaystyle xOy}$-assenstelsel) wordt de lijnvermenigvuldiging gebruikt bij verticaal en horizontaal vermenigvuldigen van (de grafiek van) de functie (richtingverschaling); dat wil zeggen:

a. verticaal vermenigvuldigen – het toepassen van een (rechte) lijnvermenigvuldiging t.o.v. de ${\displaystyle x}$-as;

b. horizontaal vermenigvuldigen – het toepassen van een (rechte) lijnvermenigvuldiging t.o.v. de ${\displaystyle y}$-as.

Voorbeeld. In figuur 5 is de grafiek van de functie ${\displaystyle y=f(x)=3-|\,x-3\,|}$ weergegeven op het interval ${\displaystyle [0\,;\,6]}$. Het beeld van (de grafiek van) ${\displaystyle f}$ is bepaald met de verticale vermenigvuldiging ${\displaystyle V_{x}}$ waarbij ${\displaystyle k=1{\tfrac {1}{2}}}$; daarbij is ${\displaystyle V_{x}(P)=P'}$. De grafiek van het ${\displaystyle V_{x}}$-beeld van de grafiek van ${\displaystyle f}$ heeft daarmee het voorschrift:

${\displaystyle y=1{\tfrac {1}{2}}(3-|\,x-3\,|)=4{\tfrac {1}{2}}-1{\tfrac {1}{2}}|\,x-3\,|}$

In dezelfde figuur is op ${\displaystyle f}$ ook de horizontale vermenigvuldiging ${\displaystyle V_{y}}$ met ${\displaystyle k=1{\tfrac {1}{3}}}$ toegepast, beperkt tot het interval ${\displaystyle [0\,;\,3]}$ op de ${\displaystyle y}$-as. Daarbij is ${\displaystyle V_{y}(Q_{1})=Q_{1}'}$ en ${\displaystyle V_{y}(Q_{2})=Q_{2}'}$.

Is nu ${\displaystyle Q=(x_{o},y_{o})}$, voor ${\displaystyle Q=Q_{1},\,Q_{2}}$, dan is:^[2]

${\displaystyle V_{y}(Q)=(1{\tfrac {1}{3}}x_{o},y_{o})=(x_{n},y_{n})}$

zodat:

${\displaystyle x_{n}=1{\tfrac {1}{3}}x_{o}}$ en ${\displaystyle y_{n}=y_{o}}$

Omdat zo’n punt ${\displaystyle Q}$ op de grafiek van ${\displaystyle f}$ ligt, geldt ook:

${\displaystyle y_{o}=3-|\,x_{o}-3\,|}$

Daaruit volgt door substitutie:

${\displaystyle y_{n}=3-|\,{\tfrac {3}{4}}x_{n}-3\,|}$

Het functievoorschrift van het ${\displaystyle V_{y}}$-beeld van de (grafiek van de) functie ${\displaystyle f}$ is dan:

${\displaystyle y=3-|\,{\tfrac {3}{4}}x-3\,|}$

2. In de meetkunde wordt de lijnvermenigvuldiging gebruikt bij de analytische behandeling van de ellips: het beeld van een cirkel bij een rechte (of scheve) lijnvermenigvuldiging t.o.v. een middellijn van die cirkel is namelijk een ellips.

Voorbeeld. Zie figuur 6, waarin ${\displaystyle AA_{t}}$ een middellijn is van de cirkel ${\displaystyle G}$. De vergelijking van ${\displaystyle G}$, met middelpunt ${\displaystyle O}$ en straal ${\displaystyle a}$, is in een standaard ${\displaystyle xOy}$-assenstelsel:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$

Voor een punt ${\displaystyle P}$ op ${\displaystyle G}$ is ${\displaystyle P=(a\cos \varphi ,\,a\sin \varphi )}$, waarbij ${\displaystyle \varphi }$ de (veranderlijke) hoek is tussen de positieve ${\displaystyle x}$-as en het lijnstuk ${\displaystyle PO}$ (met ${\displaystyle 0\leq \varphi <360^{\circ }}$).

Wordt op ${\displaystyle G}$ de verticale vermenigvuldiging ${\displaystyle V_{x}}$ toegepast met factor ${\displaystyle b/a}$ (hier is ${\displaystyle b<a}$), dan geldt voor ${\displaystyle P'=V_{x}(P)}$:

${\displaystyle P'=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi )=(x_{n},y_{n})}$ of ook: ${\displaystyle x_{n}=a\cos \varphi ,\,y_{n}=b\sin \varphi }$

Dus is:

${\displaystyle {\frac {{x}_{n}}{a}}=\cos \varphi ,\ {\frac {{y}_{n}}{b}}=\sin \varphi }$

Kwadrateren geeft nu de relatie:

${\displaystyle {{({\frac {{x}_{n}}{a}})}^{2}}+{{({\frac {{y}_{n}}{b}})}^{2}}=1}$

De meetkundige plaats van de punten ${\displaystyle P'}$ bij veranderende waarden van ${\displaystyle \varphi }$ heeft dan de vergelijking:

${\displaystyle {\frac {{x}^{2}}{{a}^{2}}}+{\frac {{y}^{2}}{{b}^{2}}}=1}$

Dit is de vergelijking van een ellips met middelpunt ${\displaystyle O}$ waarvan de lengtes van de halve assen gelijk zijn aan ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$.

In figuur 6 is ook de cirkel ${\displaystyle G'}$, met middelpunt ${\displaystyle O}$ en straal ${\displaystyle b}$, weergegeven. Voor het snijpunt ${\displaystyle P^{*}}$ van ${\displaystyle OP}$ met ${\displaystyle G'}$ is ${\displaystyle P^{*}=(b\cos \varphi ,\,b\sin \varphi )}$.

Wordt nu op de cirkel ${\displaystyle G'}$ de horizontale vermenigvuldiging ${\displaystyle V_{y}}$ met factor ${\displaystyle a/b}$ toegepast, dan geldt voor het beeldpunt ${\displaystyle V_{y}(P^{*})}$ van ${\displaystyle P^{*}}$:

${\displaystyle V_{y}(P^{*})=(a\cos \varphi ,\,b\sin \varphi )=P'}$

En daaruit blijkt dat de horizontale vermenigvuldiging van de cirkel ${\displaystyle G'}$ hetzelfde effect heeft als de verticale vermenigvuldiging van de cirkel ${\displaystyle G}$: in beide gevallen is dat de ellips met middelpunt ${\displaystyle O}$ en halve assen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$.

De lijn ${\displaystyle a}$ moet in de driedimensionale euclidische ruimte vervangen worden door een vlak ${\displaystyle \alpha }$ om ook in die ruimte een dergelijke vermenigvuldiging met richting ${\displaystyle r}$ te kunnen definiëren: een vlakvermenigvuldiging ${\displaystyle V}$. De lijn ${\displaystyle r}$ moet daarbij het vlak ${\displaystyle \alpha }$ snijden.

De constructie van het beeldpunt ${\displaystyle P'=V(P)}$ van ${\displaystyle P}$ gaat in dit geval als volgt; zie figuur 7.

1. De lijn ${\displaystyle p}$ gaat door het punt ${\displaystyle P}$ en is evenwijdig met de lijn ${\displaystyle r}$.
2. Het punt ${\displaystyle O_{p}}$ is het snijpunt van de lijn ${\displaystyle p}$ met het vlak ${\displaystyle \alpha }$.
3. Het punt ${\displaystyle P'}$ ligt zó op de lijn ${\displaystyle p}$ dat ${\displaystyle O_{p}{P'}=|\,k\,|\cdot O_{p}{P}}$. Als ${\displaystyle k>0}$ is, dan liggen ${\displaystyle P}$ en ${\displaystyle P'}$ aan dezelfde kant van ${\displaystyle O_{p}}$; is ${\displaystyle k<0}$, dan liggen ${\displaystyle P}$ en ${\displaystyle P'}$ aan verschillende kanten van ${\displaystyle O_{p}}$ (dus aan verschillende kanten van het vlak ${\displaystyle \alpha }$).

• Verschalen (meetkunde)
• Homothetie (meetkunde)
• Lineaire transformatie
• Parametervergelijking
• Toegevoegde middellijnen bij een ellips
• Constructie van Rytz van toegevoegde middellijnen
• Projectie (wiskunde)

• Math4all: Functies en grafieken, Transformaties. Via de website.
• D. Klingens (2002): Affiene afbeeldingen van het vlak op zichzelf. Via de website PandD.