In de wiskunde is een stelsel orthogonale polynomen een rij polynomen van toenemende graad die onderling orthogonaal zijn met betrekking tot een of ander inproduct. Veel gebruikte en bekende stelsls zijn de hermite-polynomen, de laguerre-polynomen, de legendre-polynomen, de jacobi-polynomen en de chebyshev-polynomen. Orthogonale polynomen treden op als oplossingen van speciale differentiaalvergelijkingen en vinden toepassing in numerieke benaderingen van integralen.
Definitie
Een stelsel polynomen
, waarin
een polynoom van de graad
is, heet orthogonaal op het interval
met betrekking tot de gewichtsfunctie
, als voor
geldt:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)P_{n}(x)P_{m}(x)\,\mathrm {d} x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade4609be946a6147222122e8770106a50059d74)
Als de polynomen genormeerd zijn, d.w.z.
![{\displaystyle \|P\|^{2}=\int _{a}^{b}w(x)(P_{n}(x))^{2}\mathrm {d} x=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cebd618faef53745167b0c8e9f9b693c2f3f5896)
dan heet het stelsel orthonormaal:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)P_{n}(x)P_{m}(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{nm}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e941b6f34d5f870bef966d5c78f4f4bcba9e9787)
met
de kroneckerdelta, dus 1 als
en 0
.
Constructie
Een stelsel orthogonale polynomen kan geconstrueerd worden door orthogonalisering van de rij eenvormen
met behulp van de Gram-Schmidtmethode.
De coëfficiënten van de polynoom
uit een orthogonaal stelsel volgen, op een schaalfactor na, ook uit de eis dat
orthogonaal moet zijn met de voorgaande polynomen
.
Voorbeeld
Een orthogonaal stelsel voor het interval
en gewichtsfunctie
wordt bepaald door:
![{\displaystyle P_{0}(x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e45afd043a869d8f62c234033605143b5eaf4f0)
, want
, dus ![{\displaystyle a=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d476e5e765a5d77bbcff32e4584579207ec7d8)
, want
, dus
.
, dus
.
Enzovoort; steeds is 1 als coëfficiënt van de hoogste macht gekozen.
De berekeningen kunnen sterk vereenvoudigd worden door de constatering dat
- vanwege de orthogonaliteit met
, voor alle overige polynomen geldt:
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{n}(x)\,\mathrm {d} x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afba23e401ba9070022742f0c49e9675cf8a5346)
- vanwege de orthogonaliteit met
en
, alle polynomen slecht uit alleen even machten of alleen oneven machten van
bestaan.
Zo krijgt men:
, want
, dus
.
Met de Gram-Schmidtmethode, met het inproduct
![{\displaystyle \langle P_{i},P_{j}\rangle =\int _{-1}^{1}P_{i}(x)P_{j}(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592bc7b8b8354a0cf241fe6502ce6dee1d8ec3d5)
krijgt men:
![{\displaystyle P_{0}(x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e45afd043a869d8f62c234033605143b5eaf4f0)
, want ![{\displaystyle \langle P_{0},x\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a37b88e76a2c35773929e7eff848002fc3fa7aa)
![{\displaystyle P_{2}(x)=x^{2}-{\frac {\langle P_{0},x^{2}\rangle }{\langle P_{0},P_{0}\rangle }}P_{0}(x)=x^{2}-{\frac {\tfrac {2}{3}}{2}}\cdot 1=x^{2}-{\tfrac {1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7e8635b3dfb906b25f58440e9d9873a3311a53)
, - want
,
en ![{\displaystyle \quad \langle x^{2}-{\tfrac {1}{3}},x^{3}\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23f9c389f219f6d3fee97d3f30f703d00fab67c)
Voorbeelden van orthogonale stelsels
Tabel Integratiegrenzen | gewichtsfunctie | polynomen |
| | | |
| | | legendre-polynoom |
| | | jacobi-polynoom |
| | | chebyshev-polynoom eerste soort |
| | | chebyshev-polynoom tweede soort |
| | | hermite-polynoom |
| | | laguerre-polynoom |
| | | geassocieerd laguerre-polynoom |
De coëfficiënten van de polynomen en van hun afgeleiden zijn evenals hun nulpunten in een tabel te vinden.