Sierpiński-kromme

Sierpiński-krommen zijn een recursief gedefinieerde rij van continue fractalen in het gesloten vlak. De basisvorm ervan is een vierkant, het eenheidsvierkant. Sierpiński-krommen zijn als eerste door de Poolse wiskundige Wacław Sierpiński geconstrueerd. Een Sierpiński-kromme ${\displaystyle S_{n}}$ heeft een oneindige lengte, maar toch een eindige oppervlakte. In de limiet ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ vullen Sierpiński-krommen het eenheidsvierkant volledig. Hun limietkromme, de Sierpinski-kromme, is daarom een voorbeeld van een ruimtevullende kromme. Omdat de Sierpiński-kromme ruimtevullend is, is de hausdorff-dimensie ervan in de limiet ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ gelijk aan 2. De lengte ${\displaystyle l_{n}}$ van ${\displaystyle S_{n}}$ is

${\displaystyle l_{n}={2 \over 3}(1+{\sqrt {2\ }})2^{n}-{1 \over 3}(2-{\sqrt {2\ }}){1 \over 2^{n}}}$

De euclidische lengte van ${\displaystyle S_{n}}$ neemt dus exponentieel met ${\displaystyle n}$ toe.

De limiet voor ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ van het door ${\displaystyle S_{n}}$ ingesloten gebied is gelijk is aan ${\displaystyle 5/12}$ van het eenheidsvierkant, in de euclidische metriek.