Splijtlichaam

In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een splijtlichaam van een polynoom met coëfficiënten in een lichaam (Nederlands) / veld (Belgisch) ${\displaystyle K,}$ een kleinste lichaams/velduitbreiding van dat lichaam/veld, waarin de polynoom in lineaire factoren kan worden ontbonden. Een splijtlichaam is dus een algebraïsche uitbreiding van ${\displaystyle K.}$

Een splijtlichaam van een polynoom ${\displaystyle p}$ van de graad ${\displaystyle n>0}$ over een lichaam ${\displaystyle K,}$ dus met coëfficiënten in ${\displaystyle K,}$ is een uitbreiding ${\displaystyle L}$ van ${\displaystyle K}$ waarover ${\displaystyle p}$ in lineaire factoren kan worden ontbonden en zodanig dat de nulpunten ${\displaystyle (a_{i})}$ van de polynoom de uitbreiding ${\displaystyle L}$ over ${\displaystyle K}$ genereren. d.w.z.

${\displaystyle p(x)=c\prod _{i=1}^{n}(x-a_{i}),c\in K,a_{1},\ldots ,a_{n}\in L}$

en

${\displaystyle L=K(a_{1},\ldots ,a_{n})}$

Een splijtlichaam ${\displaystyle L}$ is een uitbreiding van minimale graad over ${\displaystyle K,}$ waarin ${\displaystyle p}$ uiteenvalt. Het kan worden aangetoond dat zulke splijtichamen bestaan en op isomorfie na uniek zijn. De mate van vrijheid in dat isomorfisme staat bekend als de galoisgroep van ${\displaystyle p,}$ gesteld dat de nulpunten van de polynoom algebraïsch zijn, dus met wortels zijn te schrijven.