Von Mangoldt-functie

In de getaltheorie is de Von Mangoldt-functie een getaltheoretische functie, dus gedefinieerd op de positieve gehele getallen, opgesteld door en genoemd naar de Duitse wiskundige Hans von Mangoldt. De functie is alleen ongelijk aan 0 voor getallen die een macht van een priemgetal zijn, en heeft dan de waarde van de natuurlijke logaritme van dat priemgetal.

De Von Mangoldt-functie, meestal genoteerd als ${\displaystyle \Lambda (n)}$, is gedefinieerd door:

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\mbox{als }}n=p^{k}{\mbox{ voor een priemgetal }}p{\mbox{ en een geheel getal }}k\geq 1,\\\\0&{\mbox{anders.}}\end{cases}}}$

De waarden van de functie vormen een rij die begint met:

${\displaystyle 0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,0,\ldots }$

De exponenten van de functiewaarden zijn gelijk aan 1 of het enkele priemgetal waarvan het argument een macht is. Expliciet geldt:

${\displaystyle e^{\Lambda (n)}={\frac {\rm {{kgv}(1,2,3,\ldots ,n)}}{\rm {{kgv}(1,2,3,\ldots ,n-1)}}}}$

waarin ${\displaystyle {\rm {kgv}}}$ het kleinste gemene veelvoud voorstelt.

De waarden vormen de rij

${\displaystyle 1,2,3,2,5,1,7,2,3,\ldots }$

die te vinden is als A014963 in OEIS.

De Von Mangoldt-functie is een belangrijk voorbeeld van een getaltheoretische functie die noch multiplicatief, noch additief is. De functie voldoet aan de volgende identiteit:

${\displaystyle \log n=\sum _{d\,\mid \,n}\Lambda (d)}$.

De sommatie-index loopt dus over alle gehele getallen ${\displaystyle d}$ die deler zijn van ${\displaystyle n}$. Dit resultaat is een gevolg van de hoofdstelling van de rekenkunde, aangezien de termen die geen macht van een priemgetal zijn, gelijk zijn aan 0. Stel bijvoorbeeld dat ${\displaystyle n=12}$ met priemfactoren

${\displaystyle n=12=2^{2}\times 3}$.

Dan is:

${\displaystyle \sum _{d\,\mid \,12}\Lambda (d)=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)=}$

${\displaystyle =\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (2^{2})+\Lambda (2\times 3)+\Lambda (2^{2}\times 3)=}$

${\displaystyle =0+\log 2+\log 3+\log 2+0+0=\log(2\times 3\times 2)=\log 12}$.

De cumulatieve Von Mangoldt-functie, ook Chebyshev-functie, ${\displaystyle \psi }$, is gedefinieerd als

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)}$.

Von Mangoldt gaf een streng bewijs voor een expliciete formule voor ${\displaystyle \psi (x)}$ met gebruikmaking van de som over de niet-triviale nulpunten van de Riemann-zèta-functie. Dit vormde een belangrijk deel van het eerste bewijs van de priemgetalstelling.

• Priemgetal-telfunctie

• Allan Gut, Some remarks on the Riemann zeta distribution (2005)
• Chris King, Primes out of thin air (2010)
• Heike, How plot Riemann zeta zero spectrum in Mathematica? (2012)