Berry–Esseens teorem

Berry–Esseens teorem er et teorem i matematikk som gir en øvre grense for konvergenshastigheten i sentralgrenseteoremet. Teoremet ble bevist uavhengig av hverandre av Andrew C. Berry i 1941 og Carl-Gustav Esseen i 1942.

Ettersom teoremet ble bevist av to forskjellige matematikere, og deretter ble videreutviklet både av disse og andre, finnes det flere forskjellige formuleringer. En versjon er som følger:

La ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$ være uavhengige stokastiske variabler med samme sannsynlighetsfordeling, og anta at ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{1}]=0}$, at ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{1}^{2}]=\sigma ^{2}>0}$ og at ${\displaystyle \mathbb {E} [|X_{1}|^{3}]=\rho <\infty }$. La videre

${\displaystyle Y_{n}={\frac {X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}}{n}}}$

være gjennomsnittet av de ${\displaystyle n}$ første variablene. La ${\displaystyle F_{n}}$ være den kumulative fordelingsfunksjonen til

${\displaystyle {\frac {Y_{n}{\sqrt {n}}}{\sigma }}}$,

og ${\displaystyle \Phi }$ være den kumulative fordelingsfunksjonen til den standard normalfordelingen. Da finnes en positiv konstant ${\displaystyle C}$ slik at for alle ${\displaystyle x}$ og ${\displaystyle n}$ så er

${\displaystyle |F_{n}(x)-\Phi (x)|\leq {\frac {C\rho }{\sigma ^{3}{\sqrt {n}}}}}$.

Her er ${\displaystyle C}$ en universell matematisk konstant, som er kjent som Berry–Esseen-konstanten. Den nøyaktige verdien av konstanten er ikke kjent. I Esseens opprinnelige arbeid gis den en øvre grense på 7,59, som senere har blitt forbedret. Den beste øvre grensen som er kjent i dag er 0,7655 og ble vist av Sjiganov i 1985.^[1] På den annen side er det kjent at ${\displaystyle C}$ er større enn ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}\approx 0,3989}$.^[2]

Referanser