Binomisk fordeling

En binomisk fordeling eller binomialfordeling er en diskret fordeling (et begrep innen sannsynlighetsteori og matematisk statistikk) som håndterer hyppige (diskrete) forsøk med fast sannsynlighet.

Dersom en stokastisk variabel X er binomisk fordelt, med n=totale antall forsøk, k=antall lykkede forsøk og p=sannsynligheten for å lykkes i hvert forsøk, skriver man :

${\displaystyle X\in Bin(n,p)}$

X har sannsynlighetsfunksjonen

${\displaystyle p_{X}(k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}.}$

der p er sannsynligheten for at hendelsen skal inntreffe og 1 - p = q således sannsynligheten for at hendelsen ikke skal inntreffe. Slik dukker binomialkoeffisientene opp i fordelingen.

Binomialfordelingen kan under visse omstendigheter tilnærmes med andre fordelinger. Tommelfingerregelen er at dersom ${\displaystyle p<0,1}$ kan fordelingen tilnærmes med poissonfordelingen Po(np), eller dersom ${\displaystyle np(1-p)>10}$ med normalfordelingen N(${\displaystyle np}$,${\displaystyle {\sqrt {npq}}}$).

Eksempel: Statistikerens favoritteksempel er urnemodeller som bygger på urner med svarte og hvite kuler. Sannsynligheten for å ta ut en hvit kule ved en tilfeldig trekning er p. Sannsynligheten for at man tar ut nøyaktig k hvite kuler ved n forsøk, dersom man har s antall svarte og v hvite kuler i en urne, og legger tilbake kulene mellom hver trekning (trekning med tilbakelegging), gis da av sannsynlighetsfunksjonen over med

${\displaystyle p={v \over {s+v}}\quad og\quad q=1-p,}$

der p og q gis gjennom den klassiske sannsynlighetsdefinisjonen.

Eksempel 2: Dersom man kaster en terning tre ganger, og terningen er velbygd, slik at sannsynligheten for å få en sekser er 1/6, blir sannsynligheten for å få sekser to ganger

${\displaystyle P={3 \choose 2}\left({1 \over 6}\right)^{2}{5 \over 6}={5 \over 72}}$

Eksempel 3: På samme vis kan man regne ut sannsynligheten for å få sifferet seks x ganger ved n antall kast:

${\displaystyle P(X=x)={n \choose x}\left({1 \over 6}\right)^{x}\left({5 \over 6}\right)^{n-x}}$

• Binomialformelen