Den binomiske opsjonsprisingsmodell

Den binomiske opsjonsprisingsmodell er en finansiell modell utviklet av de amerikanske økonomene Cox, Ross og Rubinstein i 1979 for aktivaprising basert på fravær av arbitrasje. Modellen er basert på at verdien av det underliggende aktivum er en diskret, nærmere bestemt binomisk stokastisk variabel som realiseres i diskret tid.

Den binomiske modellen brukes i praksis til numerisk opsjonsprising i tilfeller hvor andre modeller er vanskeligere å anvende. Dette gjelder blant annet for amerikanske opsjoner, dividendebetalende opsjoner, realopsjonsmodeller og særlig kompliserte opsjoner (herunder asiatiske opsjoner). Den binomiske modellen kan i slike tilfeller være raskere enn Monte Carlo-simulering.

For å prise opsjoner i den binomiske modellen antar man at det finnes et komplett marked bestående av et underliggende aktivum (i dette tilfelle en aksje) hvis verdi betegnes ${\displaystyle S}$, som er en binomisk stokastisk prosess i diskret tid og et risikofritt aktivum som gir en deterministisk avkastning ${\displaystyle R=1+r}$. I tillegg til de ovennevnte aktiva eksisterer det et derivat hvis verdi ${\displaystyle f}$ bare avhenger av verdien av ${\displaystyle S}$ (og evt tiden ${\displaystyle t}$).

Anta at en aksje på et tidspunktt har verdien ${\displaystyle S_{t}}$. I den binomiske modellen kan aksjekursen på det neste tidspunkt enten øke med en faktor ${\displaystyle u}$ til ${\displaystyle S_{t}^{u}}$ eller falle med en faktor ${\displaystyle d}$ til ${\displaystyle S_{t}^{d}}$. Vilkåret for fravær arbitrasje i dette markedet er at ${\displaystyle u\geq R\geq }$, hvor streng likhet innebærer en deterministisk aksjekurs.

For å prise en énperiodisk opsjon tar man utgangspunkt i en replikerende strategi hvor man ved hjelp av det underliggende og det risikofrie aktivum konstruerer en portefølje hvis kontantstrøm er en perfekt kopi av kontantstrømmen fra opsjonen i alle mulige fremtidige tilstander. Denne porteføljen på under forutsetningen om ingen arbitrasje ha samme pris som opsjonen. Man får derfor at: ${\displaystyle f_{t+1}^{u}(S)=aS_{t+1}^{u}+bR}$ ${\displaystyle f_{t+1}^{d}(S)=aS_{t+1}^{d}+bR}$