Linjekoordinater

Linjekoordinater benyttes i analytisk geometri til å angi retning og posisjon for en rett linje i planet eller rommet på samme måte som vanlige punktkoordinater benyttes til å angi posisjonen til et punkt.

Linjekoordinater ble innført av Julius Plücker på midten av 1800-tallet. I dag benyttes de innen robotikk og CAD.

En linje i planet med kartesiske koordinater {x, y } kan beskrives ved ligningen y = ax + b. Her angir a stigningstallet og b gir skjæringspunktet med y-aksen der x = 0. Dermed kan (a, b ) sies å være koordinatene for slike linjer på samme måte som (x, y ) er koordinatene til et punkt.

Mens den lineære ligningen y = ax + b beskriver punkt langs en rett linje med koordinater (a, b ), kan man også betrakte den når punktet (x, y ) holdes fast. Løsningene vil da gi koordinatene (a, b ) for alle linjer som går gjennom dette punktet.^[1]

En kurve i planet fremkommer når punktkoordinatene oppfyller en ligning f(x,y ) = 0 som har en løsning y = y(x). Alternativt kan man anta at kurven kan uttrykkes ved en parameter t  slik at x = x(t) og y = y(t). På samme måte vil løsningen til en ligning g(a,b ) = 0 mellom de to linjekoordinatene kunne skrives på parameterform som a = a(t ) og b = b(t ). Den beskriver de rette linjene y = a(t )x + b(t ) som utgjør en linjeskare. De danner omhyllingskurven som tilsvarer ligningen mellom de to linjekoordinatene.^[2].

De to linjekoordinatene (a, b ) i planet er mangelfulle da de ikke kan beskrive linjer parallelle med y-aksen. Det kan gjøres ved å innføre en tredje koordinat slik at en rett linje skrives som

${\displaystyle ux+vy+w=0}$

Nå vil linjekoordinatene (u, v, w ) kunne angi alle linjer med både retning og posisjon i planet. Men multipliseres de med en konstant k, vil (ku, kv, kw ) angi den samme linjen som (u, v, w ). De sies derfor å være homogene linjekoordinater av samme type som benyttes i projektiv geometri.^[3]

Som et eksempel har linjen y = 2 - x/2 de homogene linjekoordinatene (1/2, 1, -2) som er ekvivalent med (1, 2, -4) eller (-3, - 6, 12) og uendelig mange andre verdier.

I det projektive planet RP² definerer to punkt en linje på samme måte som at alle linjer har et skjæringspunkt. Linjer som skjærer hverandre uendelig langt borte, erstatter parallelle linjer i euklidsk geometri. Hvert punkt kan entydig angis ved tre homogene punktkoordinater (x, y, z ). Mens punkter som ligger i det uendelige fjerne, er gitt ved z = 0, kan punkter i den endelige delen av planet angis ved å velge z = 1 da disse koordinatene er homogene.^[3]

Ligningen for en rett linje i dette planet er gitt ved

${\displaystyle ux+vy+wz=0}$

der (u, v, w ) ≠ (0, 0, 0) er de tre homogene linjekoordinatene for linjen. Punkter i det uendelige fjerne ligger på linjen (0, 0, 1), mens x-aksen er gitt ved linjen (0, 1, 0) og y-aksen har linjekoordinatene (1, 0, 0).

På parameterform kan en linje i rommet skrives som r = nt + r₀ hvor vektoren n angir dens retning og punktet r₀  ligger på linjen. Når rommet har tre dimensjoner, behøves det derfor i utgangspunktet 3 + 3 = 6 variable eller koordinater for å spesifisere den. Men retningen n behøver bare to koordinater, mens punktet r₀  kan flyttes til andre punkt på samme linje. Det har derfor også en mindre frihetsgrad slik at man i alt har 2 + 2 = 4 uavhengige linjekoordinater i tre dimensjoner.

Plücker bestemte disse koordinatene fra linjens projeksjoner på to av de tre kartesiske koordinatflatene. Velges disse å være xz- og yz-planene, er projeksjonene gitt ved de to ligningene

${\displaystyle x=rz+\rho ,\;\;\;y=sz+\sigma }$

hvor (r, s, ρ, σ ) er Plücker-koordinatene for den tredimensjonale linjen.^[4]

Disse koordinatene kan bestemmes ved å angi to punkt x = (x₁,x₂,x₃) og y = (y₁,y₂,y₃) som ligger på den. Plücker kunne uttrykke resultatet ved komponentene til de to vektorene n = x - y og m = x × y. Her gir n retningen i rommet til linjen, mens komponentene til m angir størrelsen av projeksjonene på de tre koordinatflatene av trekanten som punktene x og y danner med origo. Denne vektoren inneholder derfor informasjon om avstanden til linjen fra origo. Man har dermed r = n_x/n_z, s = n_y/n_z, ρ = - m_y/n_z og σ = - m_x/n_z slik at de seks komponentene (n; m) = (n_x, n_y, n_z; m_x, m_y, m_z) kan betraktes som homogene linjekoordinater. Men de er ikke uavhengige av hverandre da vektoren m alltid er vinkelrett på n som følger fra definisjonen av det vektorielle kryssproduktet. Det gir Plücker-betingelsen m ⋅ n = 0 og derfor effektivt bare fire frie koordinater.^[5]

Hvis hvert punkt x i det tredimensjonale, projektive rommet RP³ beskrives ved fire homogene koordinater (x₀,x₁,x₂,x₃), vil punkter i den endelige delen tilsvare verdier som vanligvis beskrives ved å ta x₀ = 1. De seks Plücker-koordinatene for en linje gjennom to punkt x og y kan da finnes fra den antisymmetriske matrisen P = (P_ij ) med elementer

${\displaystyle P_{ij}=x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}}$

De tidligere koordinatene gjenfinnes ved å sette x₀ = y₀ = 1 som gir n = (P₁₀,P₂₀,P₃₀) og m = (P₂₃,P₃₁,P₁₂). Plücker-betingelsen tilsvarer at determinanten det P = 0.^[5]

Et plan i rommet kan beskrives ved ligningen u₁x₁ + u₂x₂ + u₃x₃ + u₀ = 0 med bruk av ikke-homogene koordinater. Her angir vektoren u = (u₁,u₂,u₃) retningen til planets normal, mens u₀ er en konstant. Sammen utgjør de fire homogene koordinater for planet. I det projektive rommet er derfor planet beskrevet ved ligningen

${\displaystyle u_{0}x_{0}+u_{1}x_{1}+u_{2}x_{2}+u_{3}x_{3}=0}$

som viser at (u₀,u₁,u₂,u₃) er homogene koordinater for planet. Koordinatene for skjæringspunktet mellom planet og linjen P = (n; m) er nå gitt ved

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=0}^{3}P_{ij}u_{j}}$

som gir x₀ = - n⋅u og x = nu₀ - m×u. Hvis linjen er parallell med planet, vil vektorene n og u stå vinkelrett på hverandre slik at det skalare produktet n⋅u = 0. Da er den homogene koordinaten x₀ = 0 som betyr at skjæringspunkt ligger i det uendelige fjerne.

Ligningen for et plan i det projektive rommet er symmetrisk ved ombytte av de homogene koordinatene for punkt og plan. Dette danner grunnlaget for dualitet som er av sentral betydning i projektiv geometri.^[5]

På samme måte som to punkt definerer en linje i planet, vil også to plan med koordinater (u₀,u) og (v₀,v) entydig spesifisere en skjæringslinje. Dens retning vil være gitt ved kryssproduktet n = u×v som inngår i en ny Plücker-matrise Q = (Q_ij ) for linjen. Da punkter (x₀,x) på denne ligger på begge planene, må man ha u⋅x + u₀x₀ = 0 og v⋅x + v₀x₀ = 0. Sammen gir de betingelsen m⋅x = 0 der m = uv₀ - vu₀. Dermed har man de duale Plücker-koordinatene Q = (n;m) hvor betingelsen n⋅m = 0 er oppfylt.

De enkelte komponentene til den duale Plücker-matrisen kan nå finnes fra det antisymmetriske produktet

${\displaystyle Q_{ij}=u_{i}v_{j}-u_{j}v_{i}}$

der n = (Q₂₃,Q₃₁,Q₁₂) og m = (Q₁₀,Q₂₀,Q₃₀). Ved dualitet kan man herfra beregne koordinatene (u₀,u) for planet som en vilkårlig linje Q = (n;m) danner med et annet punkt (x₀,x),

${\displaystyle u_{i}=\sum _{j=0}^{3}Q_{ij}x_{j}}$

Mange andre, geometriske relasjoner mellom punkter, linjer og plan i rommet kan finnes ved tilsvarende metoder.^[4]

• Kristian Ranestad, Linjegeometri, norsk foredrag (2006).