Algorytm Clenshawa[1] – rekurencyjna metoda obliczania liniowej kombinacji wielomianów Czebyszewa. Stosuje się go do dowolnej klasy funkcji definiowalnych za pomocą trójtermowego równania rekurencyjnego[2].
Algorytm Clenshawa
Niech ciąg
spełnia liniową relację rekurencyjną
![{\displaystyle \phi _{k+1}(x)+\alpha _{k}(x)\,\phi _{k}(x)+\beta _{k}(x)\,\phi _{k-1}(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f312184e7f74790aa07d79c116b41388e9f4654)
gdzie współczynniki
i
są znane. Dla dowolnego, skończonego ciągu
definiujemy funkcje
przez „odwrócony” wzór rekurencyjny:
![{\displaystyle {\begin{aligned}b_{n+1}(x)&=b_{n+2}(x)=0,\\[.5em]b_{k}(x)&=c_{k}-\alpha _{k}(x)\,b_{k+1}(x)-\beta _{k+1}(x)\,b_{k+2}(x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afdb983a14297a1ef876f736364e77445eae98ca)
Kombinacja liniowa
spełnia:
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}\phi _{k}(x)=b_{0}(x)\phi _{0}(x)+b_{1}(x)\left[\phi _{1}(x)+\alpha _{0}(x)\phi _{0}(x)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0133a3dbbf2ba212dc0fd05e848fb7fd43baa7)
Specjalny przypadek dla ciągu wielomianów Czebyszewa
Rozważmy kombinację liniową wielomianów Czebyszewa
![{\displaystyle p_{n}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+a_{1}T_{1}(x)+a_{2}T_{2}(x)+\ldots +a_{n}T_{n}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f7ce5ea320304d6dfd7fa3fa6718702276f5a95)
Współczynniki w postaci rekurencyjnej dla wielomianów Czebyszewa to
![{\displaystyle \alpha _{k}(x)=-2x,\quad \beta _{k}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8181550d88235aa8bf88e107f1ca5f1e6507ae4)
Korzystając z zależności
![{\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1,\quad T_{1}(x)=xT_{0}(x),\\[.5em]b_{0}(x)&=a_{0}+2xb_{1}(x)-b_{2}(x),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f31eb0828a3a95685fc916f0b71b190523235b2f)
algorytm Clenshawa redukuje się do:
![{\displaystyle p_{n}(x)={\frac {1}{2}}\left[b_{0}(x)-b_{2}(x)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e0954f1b76be0068eae2424bf6a44ef1d03334)
Zobacz też
- schemat Hornera do obliczania wielomianów w postaci potęgowej
- algorytm de Casteljau do obliczania wielomianów w postaci Beziera
Przypisy
- ↑ C.W. Clenshaw, A note on the summation of Chebyshev series, Math. Tab. Wash. 9 (1955), pp. 118–120.
- ↑ W.H.W.H. Press W.H.W.H. i inni, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, 2007 . Brak numerów stron w książce