Ciało archimedesowe

Ciało archimedesowe – ciało uporządkowane ${\displaystyle (\mathbb {K} ,+,\cdot ,0,1,<)}$ spełniające aksjomat Archimedesa, tzn. warunek:

${\displaystyle \forall _{a,b\in \mathbb {K} }\exists _{n\in \mathbb {N} }\ 0<a<b\Rightarrow na>b}$^[1].

Warunek Archimedesa można wyrazić także na inne równoważne sposoby, takie jak:

• ${\displaystyle \forall _{a\in \mathbb {K} }\exists _{n\in \mathbb {N} }\ n>a}$^[1];
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0}$^[1];
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n=\infty }$^[1];
• Dowolny przekrój Dedekinda${\displaystyle (A,B)}$ zbioru uporządkowanego ${\displaystyle (\mathbb {K} ,<)}$ spełnia warunek: ${\displaystyle \forall _{n\in \mathbb {N} }\exists _{a\in A}\exists _{b\in B}\ b-a<{\frac {1}{n}}}$^[1];
• Zbiór ułamków ciała ${\displaystyle \mathbb {K} }$ jest gęsty w ${\displaystyle \mathbb {K} }$^[1].

Ciałem archimedesowym jest np. ciało liczb rzeczywistych^[2]. Co więcej – jest to największe ciało archimedesowe, tzn. każde ciało archimedesowe jest izomorficzne z pewnym podciałem ciała liczb rzeczywistych^[3]. Zatem każde rozszerzenie ciała liczb rzeczywistych musi być niearchimedesowe; istnieją jednak również niearchimedesowe ciała nie będące rozszerzeniami ciała liczb rzeczywistych^[3].

Ciałem niearchimedesowym jest np. ciało liczb hiperrzeczywistych^{[2][4][5][6][7]}. Istnieją takie liczby hiperrzeczywiste ${\displaystyle a\preccurlyeq b,}$ że nie istnieje taka liczba naturalna ${\displaystyle n,}$ że ${\displaystyle na\succcurlyeq b}$^[2].

Dowód niearchimedesowości ciała liczb hiperrzeczyywistych

Można poczynić najpierw obserwację, że ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :0<1/n\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}},}$ co oznacza, że ${\displaystyle 0^{*}\prec [(1/n)]}$^[6]. Lecz ponieważ ciało liczb rzeczywistych jest archimedesowe, to ${\displaystyle \forall _{r\in \mathbb {R} _{+}}\exists _{n_{0}\in \mathbb {N} }\forall _{n>n_{0}}\ 1/n<r,}$ skąd wynika, że ${\displaystyle E:=\{n_{0}+i\}_{i=1}^{\infty }\subset \{n\in \mathbb {N} :1/n<r\}}$^[6]. Zbiór ${\displaystyle E}$ należy do ultrafiltru ${\displaystyle {\mathcal {U}},}$ zatem ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :1/n<r\}\in {\mathcal {U}}}$^[6]. Zatem ${\displaystyle \forall _{r\in \mathbb {R} _{+}}\ 0^{*}\prec [(1/n)]\prec r^{*},}$ co znaczy, że ciało to nie spełnia aksjomatu Archimedesa^[6]. ${\displaystyle \square }$

Jednak ciało liczb hiperrzeczywistych spełnia zmodyfikowaną wersję aksjomatu Archimedesa, tzn. gdy dopuści się by wartość ${\displaystyle n}$ przebiegała zbiór liczb hipernaturalnych ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*},}$ to spełniony jest warunek:

${\displaystyle \forall _{a\in \mathbb {R} ^{*}}\exists _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\ a\prec n}$^[7][6][2].