Ciało uporządkowane – ciało
w którym wyróżniony jest podzbiór
elementów dodatnich o następujących własnościach:
- zbiór
jest sumą trzech zbiorów rozłącznych: ![{\displaystyle K=-D\cup \{0\}\cup D,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199bf5416308b89511db66ebcbfd188d2dcf7dcb)
- zbiór
jest zamknięty ze względu na dodawanie: ![{\displaystyle D+D\subset D,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee5e9ce1006fb0cf5045c0500d6a719d6fb41f0)
- zbiór
jest zamknięty ze względu na mnożenie: ![{\displaystyle D\cdot D\subset D,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e4cb5a74a79b269cf27120fd13ca45d4bd09d4a)
gdzie
oraz
[1][2].
Można to wypowiedzieć tak: ciało uporządkowane, to takie ciało, w którym jest określona własność bycia elementem dodatnim (większym od zera, oznaczana przez > 0) o następujących własnościach:
- Dla każdego
ma miejsce jedna z trzech zależności: ![{\displaystyle a=0,\,a>0,\,-a>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35fa54757e232d312e4900e2ac2336a94a2f37c)
- Jeśli
i
to ![{\displaystyle a+b>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a38ec492edd73da21e09eb1850029caef61e2a)
- Jeśli
i
to
>0[3].
- zapis
oznacza, że
[4], a zapis
oznacza, że
[5]. - zapis
oznacza, że
[6].
Własności
- Dla każdych dwóch elementów
albo
albo
albo
Zatem relacja > porządkuje liniowo ciało ![{\displaystyle K.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bb0e178e42abf16ef4e4c0b0f22aa235ad6e6e5)
- Jeśli
i
to ![{\displaystyle ab<0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27030f344b210eaf474d285d95e47641f6e452a)
Dowód:
i
to
czyli
a stąd
- Jeśli
i
to ![{\displaystyle ac>bc.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ab5cea963b94b6550203bcc03d13e960b4fa194)
Dowód:
Dlatego
- Jeśli
i
to ![{\displaystyle a>b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f3dbc209b9e7a3f89d6b918f0f67a5fd7cc2d6)
Dowód:
bo jeśli
to
co jest sprzeczne z założeniem. Jeśli
to
co jest sprzeczne z założeniem. Dlatego
- Jeśli
i
to ![{\displaystyle ac<bc.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/508b8c8569e66bfbf5263d8bc32a1f7f2e97442f)
- Dla każdego niezerowego elementu
ciała
zachodzi nierówność
W szczególności ![{\displaystyle 1^{2}=1>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/109005dcd58f79c15d3e18f60d115bd3c385e7b3)
czyli ciało uporządkowane musi być ciałem o charakterystyce 0. - Jeśli
to ![{\displaystyle a^{-1}>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d88bfeb0689d28ed23492fbca0b1e31d94b349f)
Dowód:
i dlatego
- Jeśli
to ![{\displaystyle {\frac {b}{c}}>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27e9a1005eb61748ea6a22cdde43406f90981c8a)
Dowód:
Przykłady
- Istnieje nieprzemienne ciało uporządkowane[7].
- Naturalnymi przykładami ciał uporządkowanych są ciała liczb wymiernych i rzeczywistych.
- Przykłady ciał, które nie mogą być ciałami uporządkowanymi:
- ciało liczb zespolonych, Dowód: gdyby było ciałem uporządkowanym, to dla niezerowego
znaki liczb
oraz
byłyby identyczne. Tymczasem ![{\displaystyle i^{-1}=-i.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b09361bc9e43d22a03e4d517b5ed6f3ca41a97d)
- dowolne ciało skończone.
Ciała archimedesowe
W każdym ciele
charakterystyki 0 zanurzony jest pierścień liczb całkowitych
Ciało uporządkowane jest ciałem charakterystyki 0. Ciało uporządkowane nazywamy ciałem archimedesowym, jeśli dla każdego elementu
istnieje taka liczba całkowita
że
[8].
- Każde ciało archimedesowe jest podciałem ciała liczb rzeczywistych
z naturalnym uporządkowaniem. W szczególności jest ono przemienne[9]. - Ciało liczb rzeczywistych
może być uporządkowane tylko w jeden sposób[9].
Przypisy
- ↑ Эмиль Артин: Геометрическая алгебра. Москва: Наука, 1969, s. 62. (ros.).
- ↑ W książce E. Artina Algebra geometryczna nie zakłada się przemienności mnożenia w ciele.
- ↑ ван дер Варден Б.Л.: Алгебра. Москва: Наука, 1976, s. 274. (ros.).
- ↑ Mówimy wtedy, że
jest większy od zera. - ↑ Mówimy wtedy, że
jest mniejszy od zera i zapisujemy to
- ↑ Mówimy wtedy, że
jest większy od
- ↑ E. Artin, op. cit., s. 66–70.
- ↑ E. Artin, op. cit., s. 70.
- ↑ a b E. Artin, op. cit., s. 71.
Bibliografia
- ван дер Варден Б.Л.: Алгебра. Москва: Наука, 1976. (ros.). Brak numerów stron w książce
- Эмиль Артин: Геометрическая алгебра. Москва: Наука, 1969. (ros.). Brak numerów stron w książce