Drzewo dwumianowe (ekonomia)

Drzewo dwumianowe – model rynku umożliwiający wycenę instrumentów pochodnych; jest to model dyskretny, tzn. zakłada, że ceny na rynku zmieniają się jedynie w ustalonych momentach.

• Na rynku dostępne są:
  • rachunek bankowy przynoszący bez ryzyka stałą stopę dochodu;
  • instrument ryzykowny (akcja) o nieznanej wartości w przyszłości;
• handel na rynku może odbywać się jedynie w określonych momentach ${\displaystyle 0=t_{0},t_{1},\dots ,t_{n}=T}$ przedziału czasowego ${\displaystyle [0,T];}$
• liczba możliwych scenariuszy dotyczących kształtowania się cen akcji w przyszłości jest skończona;
• wysokość wypłaty (wypłat) z instrumentu pochodnego, który chcemy wycenić, zależy jedynie od kształtowania się cen akcji;
• rynek jest pozbawiony możliwości arbitrażu, nie ma kosztów transakcyjnych, akcje są doskonale podzielne, nie ma ograniczeń krótkiej sprzedaży.

W modelu dwumianowym jednookresowym mamy ${\displaystyle n=1,}$ rozważamy więc wartości jedynie w dwóch punktach czasu: ${\displaystyle t_{0}=0}$ oraz ${\displaystyle t_{1}=T.}$ Zbiór możliwych scenariuszy jest dwuelementowy, modelujemy go jako przestrzeń probabilistyczną ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathsf {P}}),}$ gdzie

• ${\displaystyle \Omega =\{\omega _{u},\omega _{d}\},}$
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$ – ${\displaystyle \sigma }$-ciało wszystkich podzbiorów ${\displaystyle \Omega ,}$
• ${\displaystyle {\mathsf {P}}}$ – miara probabilistyczna (może opisywać rzeczywiste prawdopodobieństwo lub prawdopodobieństwo subiektywne inwestora) spełniająca warunek

${\displaystyle {\mathsf {P}}(\{\omega _{u}\})=p>0,}$ ${\displaystyle {\mathsf {P}}(\{\omega _{d}\})=1-p.}$

Wypłatą (z instrumentu pochodnego) w modelu jednookresowym będziemy nazywać zmienną losową ${\displaystyle X}$ określoną na przestrzeni ${\displaystyle \Omega .}$

Zakładamy, że środki ulokowane na rachunku bankowym w chwili ${\displaystyle 0}$ przynoszą bez ryzyka stopę dochodu ${\displaystyle r}$ w chwili ${\displaystyle T.}$ Jeśli przez ${\displaystyle B_{t}}$ oznaczymy wartość w chwili ${\displaystyle t}$ jednostki ulokowanej na rachunku bankowym, mamy:

${\displaystyle B_{0}=1,}$

${\displaystyle B_{T}(\omega _{u})=B_{T}(\omega _{d})=1+r.}$

Niech ${\displaystyle S_{t}}$ oznacza cenę akcji w chwili ${\displaystyle t.}$ Zakładamy, że

${\displaystyle S_{0}=s>0,}$

${\displaystyle S_{T}(\omega _{u})=S_{0}u,}$

${\displaystyle S_{T}(\omega _{d})=S_{0}d,}$

przy czym aby rynek był wolny od arbitrażu wymagamy, żeby ${\displaystyle d<1+r<u.}$

Idea wyceny wypłaty opiera się na konstrukcji portfela replikującego, tzn. portfela składającego się z takiej ilości jednostek rachunku bankowego oraz z takiej ilości akcji, aby jego wartość w chwili ${\displaystyle T}$ była równa wysokości wypłaty ${\displaystyle X.}$ Za cenę sprawiedliwą wypłaty przyjmuje się wartość tak skonstruowanego portfela w chwili ${\displaystyle 0.}$ Okazuje się, że wynika z tego następujący wzór na wycenę wypłaty ${\displaystyle X{:}}$

${\displaystyle \Pi (X)={\frac {1}{1+r}}{\mathsf {E}}_{{\mathsf {P}}^{*}}(X),}$

gdzie ${\displaystyle {\mathsf {P}}^{*}}$ zdefiniowana w następujący sposób:

${\displaystyle {\mathsf {P}}^{*}(\{\omega _{u}\})={\frac {(1+r)-d}{u-d}},}$

${\displaystyle {\mathsf {P}}^{*}(\{\omega _{d}\})={\frac {u-(1+r)}{u-d}},}$

jest równoważną ${\displaystyle P}$ miarą martyngałową (tzn. taką, że ${\displaystyle \left\{{\frac {S_{k}}{B_{k}}}\right\}_{k=0,1}}$ (zdyskontowany proces cen) jest ${\displaystyle {\mathsf {P}}^{*}}$-martyngałem).

Model jednookresowy da się uogólnić na ${\displaystyle n>1,}$ otrzymując model dwumianowy wielookresowy, zwany także modelem Coxa-Rossa-Rubinsteina (CRR). Zakładamy, że ceny mogą się zmieniać jedynie w momentach ${\displaystyle 1,2,\dots ,n.}$ W modelu tym pracujemy na przestrzeni ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathsf {Q}}),}$ gdzie

• ${\displaystyle \Omega =\{\omega _{u},\omega _{d}\}^{n},}$
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega },}$
• ${\displaystyle {\mathsf {Q}}={\mathsf {P}}^{\otimes n}}$ (miara produktowa),

gdzie ${\displaystyle {\mathsf {P}}(\{\omega _{u}\})=p>0,}$ ${\displaystyle {\mathsf {P}}(\{\omega _{d}\})=1-p.}$

Wprowadzamy ponadto filtrację ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t=0,1,\dots ,n}}$ reprezentującą zasób wiedzy o rynku do chwili ${\displaystyle t}$ włącznie.

${\displaystyle B_{t}=(1+r)^{t}}$

${\displaystyle S_{0}=s>0,}$

${\displaystyle S_{t+1}=S_{t}Z_{t+1},}$

gdzie ${\displaystyle Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}}$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie dwupunktowym: przyjmują wartość ${\displaystyle u}$ z prawdopodobieństwem ${\displaystyle p}$ oraz wartość ${\displaystyle d}$ z prawdopodobieństwem ${\displaystyle 1-p,}$ ponadto zmienna ${\displaystyle Z_{i}}$ jest ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$-mierzalna. Innymi słowy zakładamy, że w kolejnym momencie czasu cena może zwiększyć się o czynnik ${\displaystyle u}$ bądź zredukować czynnikiem ${\displaystyle d}$ przy czym prawdopodobieństwo pójścia w górę bądź w dół jest stałe w czasie. Zasób dostępnej informacji jest wynikiem obserwacji cen akcji, możemy więc napisać

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma (\{S_{s}\colon s\leqslant t\}).}$

Można pokazać, że, podobnie jak w przypadku drzewa jednookresowego, na rynku nie ma arbitrażu wtedy i tylko wtedy gdy ${\displaystyle d<1+r<u.}$

Wypłatą będziemy nazywać zmienną losową ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$-mierzalną.

W modelu wielookresowym bez arbitrażu również można znaleźć równoważną miarę martyngałową ${\displaystyle {\mathsf {Q}}^{*}.}$ Jest ona produktem miar ${\displaystyle {\mathsf {P}}^{*}}$ takich jak w przypadku jednookresowym. Proces ceny wypłaty ${\displaystyle X}$ w tym modelu można przedstawić następująco:

${\displaystyle \Pi _{t}(X)={\frac {1}{(1+r)^{(T-t)}}}{\mathsf {E}}_{{\mathsf {Q}}^{*}}(X|{\mathcal {F}}_{t}).}$

W szczególności, dla wypłaty postaci ${\displaystyle X=f(S_{T})}$ zachodzi wzór

${\displaystyle \Pi _{t}(X)={\frac {1}{(1+r)^{(T-t)}}}\sum _{i=0}^{t}{{T-t} \choose i}p_{*}^{i}(1-p_{*})^{(T-t-i)}f(S_{t}u^{i}d^{(T-t-i)}),}$

gdzie:

${\displaystyle p_{*}={\frac {(1+r)-d}{u-d}}.}$

Krok 1

W każdym kroku (wierzchołku drzewa) cena akcji idzie albo w górę ${\displaystyle u}$ razy albo w dół ${\displaystyle d}$ razy, przy ${\displaystyle u\geqslant 1}$ i ${\displaystyle 0<d\leqslant 1.}$ Jeżeli zatem ${\displaystyle S}$ oznacza aktualną cenę akcji, to w następnym wierzchołku cena ta będzie wynosić albo ${\displaystyle S_{up}=S\cdot u}$ albo ${\displaystyle S_{down}=S\cdot d.}$

Współczynniki ${\displaystyle u}$ i ${\displaystyle d}$ wyznaczane są w oparciu o współczynnik zmienności ${\displaystyle \sigma ,}$ oraz interwał czasowy ${\displaystyle t}$ pomiędzy kolejnymi wierzchołkami. Z założenia mówiącego, że wariancja logarytmu ceny akcji w chwili ${\displaystyle t}$ wynosi ${\displaystyle \sigma ^{2}t,}$ wnioskujemy, że

${\displaystyle u=e^{\sigma {\sqrt {t}}},}$

${\displaystyle d=e^{-\sigma {\sqrt {t}}}={\frac {1}{u}}.}$

W szczególności, cena instrumentu jest taka sama gdy na pewnym kroku idzie ona w górę a później w dół bądź odwrotnie; rzeczona cecha modelu znacząco poprawia wydajność obliczeniową z uwagi na zredukowaną liczbę rozważanych ścieżek. Ostatecznie

${\displaystyle S_{n}=S_{0}\cdot u^{N_{u}-N_{d}},}$

gdzie ${\displaystyle N_{u}}$ i ${\displaystyle N_{d}}$ oznaczają, odpowiednio, liczbę wierzchołków w których cena instrumentu poszła do góry bądź w dół.

Krok 2

W ostatnim wierzchołku drzewa, tj. wierzchołku w którym dokonywana jest wycena instrumentu, jego wartość wynosi odpowiednio

${\displaystyle \max\{S_{n}-K,0\},}$ dla opcji kupna,

${\displaystyle \max\{K-S_{n},0\},}$ dla opcji sprzedaży,

gdzie ${\displaystyle K}$ oznacza cenę wykonania.

Krok 3

Proces wyceny odbywa się niejako wstecz, rozpoczynając od ostatniego wierzchołka, a skończywszy na pierwszym; jest to szukana wycena instrumentu finansowego.

Pod założeniem istnienia miary obojętnej na ryzyko, sprawiedliwa cena instrumentu równa jest wartości oczekiwanej przyszłych wypłat zdyskontowanych przez stopę oprocentowania wolną od ryzyka. Dokładniej,

${\displaystyle C_{t-\Delta t,i}=e^{-r\Delta t}(pC_{t,i+1}+(1-p)C_{t,i-1}),}$

gdzie:

${\displaystyle C_{t,i}}$ ceną instrumentu na ${\displaystyle i}$-tym wierzchołku w chwili ${\displaystyle t,}$

${\displaystyle p={\frac {e^{(r-q)\Delta t}-d}{u-d}}}$

jest tak dobranym prawdopodobieństwem by odpowiadający mu rozkład dwumianowy aproksymował geometryczny ruch Browna (z parametrami ${\displaystyle r}$ and ${\displaystyle \sigma }$) opisujący fluktuację cen,

${\displaystyle q}$ jest stopą dywidendy z instrumentu finansowego. Pod założeniem istnienia miary obojętnej na ryzyko, ceny w przyszłości powinny mieć zerową spodziewaną stopę wzrostu, a więc często przyjmuje się ${\displaystyle q=r}$ dla kontraktów futures.

Możliwe jest rozszerzenie modelu CRR na następujące sposoby:

• opuścić założenie jednakowego rozkładu zmiennych ${\displaystyle Z_{i},}$
• wprowadzić zmienną w czasie stopę procentową,
• dopuścić, aby akcja wypłacała dywidendę.

Słynny model Blacka-Scholesa jest w pewnym sensie granicą pewnych modeli CRR. ${\displaystyle n}$-te przybliżenie modelu Blacka-Scholesa z parametrami ${\displaystyle r,\sigma ,T}$ jest ${\displaystyle n}$-okresowym modelem CRR z parametrami

${\displaystyle u=e^{\sigma {\sqrt {\delta }}_{n}},}$ ${\displaystyle d={\frac {1}{u}}=e^{-\sigma {\sqrt {\delta }}_{n}}.}$

Można pokazać, że proces ${\displaystyle \{{S}_{t}^{n}\}_{0\leqslant t\leqslant T},}$ będący liniową interpolacją procesu otrzymanego w tak skonstruowanym modelu CRR zbiega słabo w przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku ${\displaystyle [0,T]}$ do procesu ${\displaystyle \{S_{t}\}_{0\leqslant t\leqslant T}}$ spełniającego stochastyczne równanie różniczkowe

${\displaystyle \mathrm {d} S_{t}=rS_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma S_{t}\,\mathrm {d} W_{t}.}$

• John C. Cox, Stephen A. Ross, Mark Rubinstein. Option Pricing: A Simplified Approach. „Journal of Financial Economics”. 7 (3). s. 229–263. 
• Jacek Jakubowski: Modelowanie rynków finansowych. Warszawa: Script, 2006. ISBN 83-89716-06-2. Brak numerów stron w książce