Działanie określone punktowo

Działanie określone punktowo – działanie zdefiniowane na funkcjach ${\displaystyle f,g,h,\dots \colon X\to Y}$ należących do tej samej przestrzeni funkcyjnej, takie że definicja podaje sposób obliczenia wyniku działania poprzez odwołanie się do wartości ${\displaystyle f(x),g(x),h(x),\dots }$ funkcji obliczonych w punktach ${\displaystyle x}$ dziedziny ${\displaystyle X}$ tych funkcji. Przykładami działań określonych punktowo są działania dodawania funkcji, mnożenia funkcji przez siebie, mnożenie funkcji przez skalar (patrz niżej).

Działania określone punktowo na funkcjach ${\displaystyle f,g,h,\dots }$ dziedziczą własności działania określonego w przeciwdziedzinie ${\displaystyle Y}$ tych funkcji, np. łączność, przemienność, rozdzielność itp. W ogólności, jeśli przeciwdziedzina funkcji ${\displaystyle f,g,h,\dots }$ tworzy pewną strukturę algebraiczną, to w ich przestrzeni funkcyjnej można wprowadzić strukturę algebraiczną tego samego typu.

Działaniami określonymi punktowo są poniżej zdefiniowane działania.

Niech ${\displaystyle f,g\colon X\to \mathbb {R} }$ będą funkcjami z dziedziny ${\displaystyle X}$ w zbiór liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (w szczególności ${\displaystyle X=\mathbb {R} ;}$ jeśli ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {N} ,}$ funkcje mogą być ciągami czy szeregami).

(1) Dodawanie funkcji: sumą funkcji ${\displaystyle f,g}$ nazywa się funkcję ${\displaystyle h}$ taką że dla wszystkich ${\displaystyle x\in X}$ jest

${\displaystyle h(x)=f(x)+g(x).}$

Wtedy pisze się ${\displaystyle h=f+g.}$

(2) Mnożenie funkcji: iloczynem funkcji ${\displaystyle f,g}$ nazywa się funkcję ${\displaystyle h}$ taką że dla wszystkich ${\displaystyle x\in X}$ jest

${\displaystyle h(x)=f(x)\cdot g(x).}$

Wtedy pisze się ${\displaystyle h=f\cdot g.}$

(3) Mnożenie funkcji przez skalar: iloczynem funkcji ${\displaystyle f}$ przez liczbę ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ nazywa się funkcję ${\displaystyle h}$ taką że dla wszystkich ${\displaystyle x\in X}$ jest

${\displaystyle h(x)=\alpha f(x).}$

Wtedy pisze się ${\displaystyle h=\alpha \cdot f.}$

Własności działań określonych punktowo przenoszą się na własności działań w przestrzeni funkcyjnej. Np. jeżeli dodawanie określone punktowo na funkcjach ${\displaystyle f,g,h,\dots }$ jest przemienne w przeciwdziedzinie ${\displaystyle Y,}$ to przemienne jest dodawanie tych funkcji, określone w ich przestrzeni funkcyjnej. Tzn.

(1) Dodawanie funkcji ${\displaystyle f,g}$ jest przemienne ze względu na dodawane, jeżeli dla wszystkich ${\displaystyle x\in X}$ jest

${\displaystyle f(x)+g(x)=g(x)+f(x).}$

Wtedy pisze się ${\displaystyle f+g=g+f.}$

Podobnie stwierdzenia dotyczą innych działań określonych punktowo, np. mnożenia funkcji przez siebie, mnożenia funkcji przez skalar.

(2) Mnożenie funkcji ${\displaystyle f,g}$ jest przemienne jeżeli dla wszystkich ${\displaystyle x\in X}$ jest

${\displaystyle f(x)\cdot g(x)=g(x)\cdot f(x).}$

Wtedy pisze się ${\displaystyle f\cdot g=g\cdot f.}$

(3) Mnożenie funkcji ${\displaystyle f}$ przez liczbę ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ jest przemienne, jeżeli dla wszystkich ${\displaystyle x\in D}$ jest

${\displaystyle \alpha \,f(x)=f(x)\,\alpha .}$

Wtedy pisze się ${\displaystyle \alpha \cdot f=f\cdot \alpha }$

Także, jeżeli działania określone punktowo są rozdzielne względem dodawania/łączne, to rozdzielne względem dodawania/łączne będą działania określone na tych funkcjach w przestrzeni funkcyjnej.

Działania nie określone punktowo przypisują danym funkcjom ${\displaystyle f,g}$ funkcję ${\displaystyle h}$ w ten sposób, że wartości funkcji wynikowej ${\displaystyle h(x)}$ zależą od wartości funkcji ${\displaystyle f,g}$ zadanych w większej liczbie punktów.

Splot funkcji ${\displaystyle f,g}$ określonych na zbiorze liczb rzeczywistych jest to funkcja ${\displaystyle h=f*g,}$ taka że jej wartości ${\displaystyle h(x)}$ oblicza się jako całkę z wartości funkcji ${\displaystyle f,g}$ zadanych w całej dziedzinie liczb ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle h(x)\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(t)g(x-t)\,dt}$

– przy tym dziedziną działania splotu jest zbiór funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a ${\displaystyle \mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ).}$

 Zobacz też: przestrzeń współrzędnych.

Niech ${\displaystyle K}$ oznacza ciało liczbowe, ${\displaystyle n}$ – liczba naturalna, ${\displaystyle i\in \langle n\rangle =\{1,\dots ,n\}}$ – pewien indeks.

Przestrzenią współrzędnych ${\displaystyle K^{n}}$ nazywa się przestrzeń liniową utworzoną za pomocą iloczynu kartezjańskiego przestrzeni ${\displaystyle K.}$

Jeżeli w przestrzeni ${\displaystyle K^{n}}$ wprowadzi się bazę standardową ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i},i=1,\dots ,n\},}$ to

• wektora ${\displaystyle \mathbf {v} \in K^{n}}$ ma postać ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\dots ,v_{n}),}$ przy czym ${\displaystyle v_{i}}$ nazywa się jego ${\displaystyle i}$-tą współrzędną w tej bazie,
• wektor ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}=v_{i}\mathbf {e} _{i},}$ gdzie nazywa się ${\displaystyle i}$-tą składową wektora ${\displaystyle \mathbf {v} .}$

Działania na wektorach można definiować dwoma sposobami: odwołując się do współrzędnych lub odwołując się do składowych wektorów. Np. dodawanie wektorów ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} +\mathbf {w} }$

(1) określone po współrzędnych jest wyrażone wzorem

${\displaystyle u_{i}=v_{i}+w_{i},\,\,i=1,\dots ,n,}$

czyli

${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{n})=(v_{1}+w_{1},\dots ,v_{n}+w_{n}),}$

(2) określone po składowych jest wyrażone wzorem

${\displaystyle \mathbf {u} _{i}=\mathbf {v} _{i}+\mathbf {w} _{i},\,\,i=1,\dots ,n,}$

czyli

${\displaystyle \mathbf {u} _{1}+\dots +\mathbf {u} _{n}=(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {w} _{1})+\dots +(\mathbf {v} _{n}+\mathbf {w} _{n}).}$

(1) Przekształcenie ${\displaystyle v\colon \langle n\rangle \to K}$ dane wzorem ${\displaystyle v(i)=v_{i}}$ nazywa się funkcją współrzędnych; ${\displaystyle v_{i}}$ nazywa się współrzędną wektora.

(2) Przekształcenie ${\displaystyle \mathbf {v} \colon \langle n\rangle \to K^{n}}$ dane wzorem ${\displaystyle \mathbf {v} (i)=\mathbf {v} _{i}}$ nazywa się funkcją rzutowań; ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ nazywa się rzutem wektora.

Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między składowymi wektora a jego współrzędnymi zadana wzorem

${\displaystyle \mathbf {v} (i)=v(i)\mathbf {e} _{i}}$

W ten sposób dodawanie wektorów można zapisać za pomocą funkcji współrzędnych/rzutowań:

${\displaystyle u(i)=v(i)+w(i)\quad {\text{ oraz }}\quad \mathbf {u} (i)=\mathbf {v} (i)+\mathbf {w} (i)}$

Oznacza to, że działania dodawania określone po współrzędnych/składowych dla wektorów są równoważne działaniom dodawania na odpowiadających im funkcjach współrzędnych/rzutowań określonym punktowo – z tego powodu wyrażenia „po współrzędnych” i „po składowych” stosowane są zwykle wymiennie (również z wyrażeniem „punktowo”). Analogicznie ma się rzecz z działaniem mnożenia przez skalar.

Działania określone jak wyżej nazywa się też „określonymi standardowo/naturalnie” bądź „w naturalny/standardowy sposób” („standardowymi” bądź „naturalnymi”), wynika to z zastosowania bazy standardowej, nazywanej także naturalną – można ją zastąpić inną bazą, otrzymując działania określone po współrzędnych/składowych względem tej bazy, także dla dowolnej abstrakcyjnej przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ nad ciałem ${\displaystyle K.}$

Powyższe stwierdzenia obowiązują również dla ${\displaystyle K=R}$ będącego pierścieniem, gdy ${\displaystyle R^{n}}$ jest modułem, czy ogólnie dla skończenie generowanego modułu wolnego ${\displaystyle M}$ nad pierścieniem ${\displaystyle R.}$ Analogicznie określa się działania na iloczynie kartezjańskim dowolnych struktur algebraicznych, co prowadzi do pojęcia iloczynu prostego (w przypadku skończenie wielu czynników jest on równoważny sumie prostej o skończenie wielu składnikach).

 Zobacz też: częściowy porządek.

Częstą praktyką w teorii porządku jest definiowanie określonego punktowo porządku częściowego na funkcjach. Dla (częściowo) uporządkowanych zbiorów ${\displaystyle A,B}$ zbiór funkcji ${\displaystyle A\to B}$ można uporządkować relacją ${\displaystyle f\leqslant g}$ określoną dla każdego ${\displaystyle x\in A}$ wzorem ${\displaystyle f(x)\leqslant g(x).}$ Porządki częściowe określone punktowo dziedziczą niektóre z własności zbiorów uporządkowanych, na których zostały zdefiniowane; przykładowo jeżeli ${\displaystyle A,B}$ są kratami ciągłymi, to zbiór funkcji ${\displaystyle A\to B}$ również jest kratą tego typu. Porządek określony punktowo umożliwia zwięzłe wprowadzenie innych ważnych pojęć, np.

• operator domknięcia ${\displaystyle \mathrm {c} }$ na zbiorze uporządkowanym ${\displaystyle P}$ to operator rzutu (tzn. monotoniczne idempotentne odwzorowanie tego zbioru w siebie) o dodatkowej własności ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}\leqslant \mathrm {c} ;}$
• podobnie operator rzutu ${\displaystyle \mathrm {k} }$ nazywa się operatorem jądra (bądź wnętrza), gdy ${\displaystyle \mathrm {k} \leqslant \mathrm {id} _{A};}$

symbol ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}}$ oznacza wyżej funkcję tożsamościową na ${\displaystyle A.}$

Przykładem nieskończonej relacji określonej punktowo jest zbieżność punktowa funkcji: ciąg ${\displaystyle (f_{n}),}$ gdzie ${\displaystyle f_{n}\colon X\to Y,}$ zbiega punktowo do funkcji ${\displaystyle f}$ (ozn. ${\displaystyle \lim f_{n}=f}$), jeżeli dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ zachodzi

${\displaystyle \lim f_{n}(x)=f(x).}$

• przestrzeń funkcyjna
• zbieżność punktowa (po współrzędnych/składowych)