Elastyczność substytucji

Elastyczność substytucji – elastyczność stosunku dwóch nakładów czynników funkcji produkcji (lub użyteczności) w odniesieniu do stosunku ich produktów (lub użyteczności) krańcowych^[1]. Na rynku konkurencyjnym mierzy ona procentową zmianę stosunku dwóch czynników w reakcji na procentową zmianę ich cen^[2]. Mierzy również krzywiznę izokwanty, a tym samym substytucyjność czynników (lub dóbr)^[3].

John Hicks zaproponował pojęcie elastyczności substytucji w 1932 roku. Joan Robinson odkryła ją niezależnie, za pomocą równoważnej z pomysłem Hicksa formuły matematycznej. Ekwiwalencja pomiędzy obiema propozycjami nie została początkowo rozpoznana^[4].

Ogólną definicję elastyczności X pod względem Y stanowi ${\displaystyle E_{Y}^{X}={\frac {\%\ {\mbox{zmiana X}}}{\%\ {\mbox{zmiana Y}}}},}$ co można sprowadzić do ${\displaystyle E_{Y}^{X}={\frac {dX}{dY}}{\frac {Y}{X}}}$ dla nieskończenie małych zmian i różniczkowalnych zmiennych.

Elastyczność substytucji jest zmianą, jaka zachodzi we wzajemnym stosunku zużycia dwóch dóbr do zmiany w relacji ich krańcowych wartości lub cen. Najpowszechniej wykorzystywana jest do opisania stosunku kapitału (K) i pracy (L) w relacji do stosunku ich produktów krańcowych ${\displaystyle MP_{K}}$ i ${\displaystyle MP_{L},}$ lub stopy procentowej (r) i płacy (w). Inne zastosowanie odnosi się do stosunku konsumpcji dóbr 1 i 2 w relacji do stosunku ich krańcowych użyteczności lub cen.

Przykład z wykorzystaniem konsumpcji.
Niech zależność użyteczności od konsumpcji będzie reprezentowana przez ${\displaystyle U(c_{1},c_{2}),}$ wtedy ${\displaystyle U_{c_{i}}=dU(c_{1},c_{2})/d{c_{i}}.}$ W takim przypadku elastyczność substytucji wynosi^[5]:

${\displaystyle E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{12})}}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}}={\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}{U_{c_{1}}/U_{c_{2}}}}}={\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(p_{1}/p_{2})}{p_{1}/p_{2}}}},}$

gdzie ${\displaystyle MRS}$ to krańcowa stopa substytucji.

Ostatnia równość przedstawia ${\displaystyle MRS_{12}=p_{1}/p_{2},}$ co jest relacją z warunku pierwszego rzędu dla maksymalizacji problemu konsumenta w równowadze wewnętrznej Arrow-Debreu. Relatywny wybór dóbr konsumpcyjnych przez konsumenta zmienia się, gdy ulegają zmianie relatywne ceny.

Zauważmy również, że ${\displaystyle E_{21}=E_{12}{:}}$

${\displaystyle E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}}={\frac {d(-\ln(c_{2}/c_{1}))}{d(-\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}}))}}={\frac {d\ln(c_{1}/c_{2})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=E_{12}.}$

Równoważną charakterystyką elastyczności substytucji jest^[6]:

${\displaystyle E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{12})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{21})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}{U_{c_{2}}/U_{c_{1}}}}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(p_{2}/p_{1})}{p_{2}/p_{1}}}}.}$

W modelach międzyokresowych elastyczność substytucji konsumpcji w okresach ${\displaystyle t}$ i ${\displaystyle t+1}$ znana jest jako elastyczność międzyokresowej substytucji.

Podobnie, jeśli funkcją produkcji jest ${\displaystyle f(x_{1},x_{2}),}$ to elastyczność substytucji przedstawiana się następująco:

${\displaystyle \sigma _{21}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln MRTS_{12}}}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln \left({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}}\right)}}={\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d\left({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}}\right)}{{\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}}}}}=-{\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d\left({\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}}\right)}{{\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}}}}},}$

gdzie ${\displaystyle MRTS}$ oznacza krańcową stopę technicznej substytucji.

Odwrotnością elastyczności substytucji jest elastyczność komplementarności.

Rozważmy funkcję produkcji Cobba-Douglasa ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}x_{2}^{1-a}.}$

Krańcowa stopa technicznej substytucji wygląda w tym przypadku następująco:

${\displaystyle MRTS_{12}={\frac {a}{1-a}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}.}$

Dogodniej jednak jest zamienić notację, oznaczając:

${\displaystyle {\frac {a}{1-a}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=\theta .}$

Przekształcenie powyższej formuły daje:

${\displaystyle {\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {1-a}{a}}\theta .}$

Elastyczność substytucji wynosi wtedy:

${\displaystyle \sigma _{21}={\frac {d\ln \left({\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)}{d\ln MRTS_{12}}}={\frac {d\ln \left({\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)}{d\ln \left({\frac {a}{1-a}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)}}={\frac {d\ln \left({\frac {1-a}{a}}\theta \right)}{d\ln(\theta )}}={\frac {d{\frac {1-a}{a}}\theta }{d\theta }}{\frac {\theta }{{\frac {1-a}{a}}\theta }}=1.}$

Tego typu funkcja Cobba-Douglasa posiada zatem stałą, jednostkową elastyczność substytucji niezależnie od parametru alfa.

Biorąc pod uwagę pierwotną alokację/kombinację i konkretną substytucję tejże alokacji/kombinacji, stwierdzamy, iż im większa jest elastyczność substytucji, tym większa jest możliwość substytucji w danej alokacji/kombinacji.

Elastyczność substytucji pokazuje również w jaki sposób relatywne wydatki na dobra lub nakład czynników zmieniają się, gdy ich relatywne ceny ulegają zmianie^[7].

Niech ${\displaystyle S_{21}}$ oznacza wydatki na ${\displaystyle c_{2}}$ względem wydatków na ${\displaystyle c_{1}.}$

${\displaystyle S_{21}\equiv {\frac {p_{2}c_{2}}{p_{1}c_{1}}}.}$

Gdy relatywne ceny ${\displaystyle p_{2}/p_{1}}$ ulegają zmianie, relatywne wydatki zmieniają się według:

${\displaystyle {\frac {dS_{21}}{d(p_{2}/p_{1})}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}+{\frac {p_{2}}{p_{1}}}\cdot {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{d(p_{2}/p_{1})}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}\left[1+{\frac {d(c_{2}/c_{1})}{d(p_{2}/p_{1})}}\cdot {\frac {p_{2}/p_{1}}{c_{2}/c_{1}}}\right]={\frac {c_{2}}{c_{1}}}(1-E_{21}).}$

Dlatego też określenie, czy wzrost relatywnej ceny ${\displaystyle c_{2}}$ prowadzi do zwiększenia lub spadku w relatywnych wydatkach na ${\displaystyle c_{2}}$ zależy od tego, czy elastyczność substytucji jest większa czy mniejsza od 1.

Bezpośrednim efektem wzrostu relatywnej ceny ${\displaystyle c_{2}}$ jest wzrost wydatków na ${\displaystyle c_{2},}$ ponieważ dana ilość ${\displaystyle c_{2}}$ jest droższa. Z drugiej strony, przy założeniu że dobra w przedstawionym problemie nie są dobrami Giffena, wzrost w relatywnej cenie ${\displaystyle c_{2}}$ prowadzi do spadku w relatywnej ilości kupowanego ${\displaystyle c_{2},}$ co z kolei powoduje spadek wydatków na ${\displaystyle c_{2}.}$

Wartość elastyczności substytucji decyduje o wystąpieniu jednego z tych zjawisk. Jeśli wynosi ona mniej niż 1, ma miejsce pierwsza z przedstawionych reakcji: relatywny popyt na ${\displaystyle c_{2}}$ spada, ale proporcjonalnie mniej niż wzrost relatywnej ceny ${\displaystyle c_{2},}$ dlatego relatywne wydatki na ${\displaystyle c_{2}}$ rosną. W tym przypadku dobra są dobrami komplementarnymi.

Z drugiej strony, gdy elastyczność substytucji jest większa niż 1 występuje druga reakcja: zmniejszenie relatywnej ilości nabywanego ${\displaystyle c_{2}}$ przewyższa wzrost jego relatywnej ceny, a w konsekwencji relatywne wydatki na ${\displaystyle c_{2}}$ spadają. W takim przypadku dobra są dobrami substytucyjnymi.

Gdy elastyczność substytucji wynosi dokładnie 1 (tak jak w przypadku Cobba-Douglasa), relatywne wydatki na ${\displaystyle c_{2}}$ względem wydatków na ${\displaystyle c_{1}}$ są niezależne od relatywnych cen.

• funkcja produkcji CES
• krańcowa stopa technicznej substytucji

• Hicks, J.R. (1932). The Theory of Wages. Macmillan. Pierwszy raz zdefiniowana w tej pozycji.
• Mas-Colell, Andreu; Whinston; Green (2007). Microeconomic Theory. New York, NY: Oxford University Press. ISBN 978-0195073409.
• Varian, Hal (1992). Microeconomic Analysis (3rd ed.). W.W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-95735-8.
• Klump, Rainer; McAdam, Peter; Willman, Alpo (2007). „Factor Substitution and Factor-Augmenting Technical Progress in the United States: A Normalized Supply-Side System Approach”. Review of Economics and Statistics. 89 (1): 183–192. doi:10.1162/rest.89.1.183.

• The Elasticity of Substitution. cepa.newschool.edu. [zarchiwizowane z tego adresu (2007-02-24)]., Gonçalo L. Fonsekca, essay, The New School for Social Research.