Element całkowity – uogólnienie pojęcia elementu algebraicznego na pierścienie całkowite.
Definicja
Niech
będą pierścieniami całkowitymi oraz
Element
nazywamy całkowitym nad
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian unormowany
taki, że
Zbiór wszystkich elementów całkowitych pierścienia
nad
oznaczamy
Liczbę algebraiczną nazywamy liczbą algebraiczną całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowita nad
Liczby algebraiczne całkowite
Jeśli
jest bezkwadratową liczbą całkowitą, to
![{\displaystyle C_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}(\mathbb {Z} )=\left\{{\begin{array}{l}\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}],\;d\equiv 2(\operatorname {mod} \,4)\vee d\equiv 3(\operatorname {mod} \,4)\\\mathbb {Z} [{\tfrac {1+{\sqrt {d}}}{2}}],\;d\equiv 1(\operatorname {mod} \,4)\end{array}}\right..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e27d3c96f385df4b2fe8d03415e3e6555fb56e)