Element pierwszy

Element pierwszy – uogólnienie pojęcia liczby pierwszej.

Elementem pierwszym dziedziny całkowitości ${\displaystyle \mathrm {R} }$ nazywamy taki niezerowy element ${\displaystyle x\in \mathrm {R} ,}$ który nie jest dzielnikiem jedności i dla dowolnych dwóch elementów ${\displaystyle a,b\in \mathrm {R} }$ jeśli ${\displaystyle x}$ dzieli iloczyn ${\displaystyle ab,}$ to ${\displaystyle x}$ dzieli ${\displaystyle a}$ lub ${\displaystyle x}$ dzieli ${\displaystyle b}$^[1].

• Jeżeli ${\displaystyle x\in \mathrm {R} }$ jest elementem pierwszym ${\displaystyle \mathrm {R} }$ i dzieli iloczyn dowolnej ilości czynników z ${\displaystyle \mathrm {R} ,}$ to dzieli on co najmniej jeden z tych czynników.
• Każdy element pierwszy jest elementem nierozkładalnym, natomiast nie każdy element nierozkładalny jest elementem pierwszym.
• Dla pierścieni z jednoznacznością rozkładu każdy element nierozkładalny jest także pierwszy – pojęcia te są wtedy równoważne.
• Ideał generowany przez element pierwszy jest ideałem pierwszym.