Funkcja uwikłana – funkcja jednej lub wielu zmiennych, która nie jest przedstawiona jako jawna zależność w rodzaju
ale jako pewne równanie pomiędzy wieloma zmiennymi przedstawione jako
[1].
Definicja
Niech
będą przestrzeniami unormowanymi,
oraz
będzie ciągła. Każdą funkcję
gdzie
jest pewnym podzbiorem
spełniającą dla każdego
równanie
nazywamy funkcją uwikłaną funkcji
albo funkcją uwikłaną określoną przez równanie
Wyznaczanie funkcji uwikłanej sprowadza się do rozwiązania równania
względem
Przykłady
- Ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po prostej, zakreśla krzywą, zwaną cykloidą. W odpowiednio dobranym kartezjańskim układzie współrzędnych odcięta
tego punktu równa jest
Parametr
oznacza odległość, o jaką przetoczył się okrąg, a więc przy stałej prędkości toczenia można wartość
utożsamić z upływającym czasem. Każda wartość odciętej
odpowiada innej chwili
Można więc mówić o funkcji
która przypisuje każdej pozycji punktu
cykloidy wartość
– chwilę, w której punkt znajdował się na pozycji
Funkcja
nie daje się wyrazić w sposób jawny, tj. wzorem postaci
jest to funkcja uwikłana przez równanie ![{\displaystyle x=r\cdot (t-\sin t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aabbfb8491309744a6ecbcf3cd27f802d2b992d1)
- Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej. Niech
oznacza napięcie elektryczne przyłożone do tego zestawu, zaś
natężenie płynącego w nim prądu. Z natury połączenia szeregowego wynika, że natężenie prądu w oporniku i diodzie jest takie samo, równe
zaś napięcie na całym zestawie jest sumą napięć na obu elementach:
Prawo Ohma podaje związek pomiędzy napięciem
na oporniku i płynącym przezeń prądem ![{\displaystyle I,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12504e3a6f191d6fb24fb4a6795266bdd171664)
![{\displaystyle I={\frac {U_{r}}{R}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62368026bec5272df3c842c73151c340f1ea41f9)
- gdzie
oznacza wartość rezystancji. - Związek pomiędzy napięciem
panującym na diodzie i płynącym przez diodę prądem wyraża równanie Shockleya: ![{\displaystyle I=I_{S}\cdot \left(e^{\frac {U_{d}}{c}}-1\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24b350b06d10c4a132553cf0e334915b1afaa59)
- w którym
– stałe charakterystyczne dla konkretnej diody i temperatury pracy, zaś
– podstawa logarytmu naturalnego. - Powyższe związki można rozwiązać ze względu na napięcia, otrzymując:
![{\displaystyle U_{r}=I\cdot R,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f58bc6aaa62d5e4c44adc7b47eaf62fe985543d9)
![{\displaystyle U_{d}=c\cdot \ln \left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6be09c35d8ef3a461cab914c01b98a0e8b77ab4)
- To pozwala zapisać związek pomiędzy napięciem
przyłożonym do połączenia opornik-dioda i natężeniem płynącego prądu
![{\displaystyle (\star ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa6a5307d8e2ef710a7a355de57e7d7f80f045b)
- Natężenie prądu zależy od przyłożonego napięcia. Jednak zależność ta nie daje się wyrazić jawnym wzorem – jest to funkcja uwikłana określona przez równanie
![{\displaystyle (\star ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa6a5307d8e2ef710a7a355de57e7d7f80f045b)
Lokalna jednoznaczność funkcji uwikłanej
Aby uniknąć kłopotów z wieloznacznością funkcji uwikłanej, bada się jej istnienie w sensie lokalnym, tj. istnienie takiej funkcji
która jest określona w pewnym otoczeniu punktu
spełnia w tym otoczeniu warunek
oraz
Jest to możliwe tylko wtedy, gdy
i
są tak dobrane, że
Prawdziwe jest następujące twierdzenie.
Twierdzenie o funkcji uwikłanej
Niech
będą przestrzeniami Banacha. Jeżeli
jest zbiorem otwartym, a
funkcją klasy
i dla pewnego punktu
oraz pochodna cząstkowa ![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\in \operatorname {Isom} (Y;Y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb795683d353954977bb61a48bdd4713fb3ecca7)
to istnieją liczby
i
oraz funkcja
klasy
że
![{\displaystyle k(x_{0},\delta )\times k(y_{0},\eta )\subseteq D,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5919ff816e6dfbc46126e932e47799100b639ddd)
- dla każdego punktu
jedynym punktem
spełniającym równanie
jest punkt ![{\displaystyle y=\varphi (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33b35410b46feaf8e20f7f6c2e0baa7977265cf4)
Założenie zupełności przestrzeni unormowanych jest niezbędne, gdyż dowód twierdzenia o funkcji uwikłanej opiera się o twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie.
Twierdzenie o różniczkowaniu funkcji uwikłanej
Niech
będą przestrzeniami Banacha,
będzie zbiorem otwartym oraz
funkcją klasy
taką, że różniczka cząstkowa
dla każdego
Dalej niech dana będzie funkcja ciągła
gdzie
jest podzbiorem otwartym przestrzeni
Jeżeli dla każdego
oraz ![{\displaystyle f(x,\psi (x))=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9a6518605e51578257249ec95b1a6b32670368f)
to
jest funkcją klasy
i dla każdego
różniczka:
![{\displaystyle d\psi (x)=-\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\psi (x))\right)^{-1}\circ {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,\psi (x)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b386b2c97f958296416916a5e2c4098ddc4fe0e1)
Funkcje rzeczywiste
Niech
będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja
jest klasy
i dla pewnego punktu
spełnia warunki:
oraz ![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14cfb9f46580db21786d193bae3f6a49a29a333a)
to w pewnym otoczeniu punktu
istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła
spełniająca warunki
oraz
dla
z tego otoczenia.
Ponadto jeśli w otoczeniu punktu
istnieje ciągła pochodna cząstkowa
to funkcja uwikłana
ma ciągłą pochodną daną wzorem
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bee955bad6b93e756aaec91284eefbd2e500456)
Inne twierdzenia
Czasem przez twierdzenie o funkcji uwikłanej rozumie się następujące twierdzenie:
Niech
będą przestrzeniami Banacha,
będą otoczeniami zera (odpowiedniej przestrzeni). Jeśli
są funkcjami klasy
takimi, że
![{\displaystyle \varphi (0)=0,\psi (0)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbd7ae19653d2ac42e81e8fb8ea2723a63216298)
![{\displaystyle \psi \circ \varphi \equiv 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf81b27920aa25964ec27424f28feebf9d5ce26)
![{\displaystyle \operatorname {im} \;d\varphi (0)=\ker \;d\psi (0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f44d07542fcf8651216f1e34ceaecfbb355e47)
jest zbiorem domkniętym
wówczas istnieje takie otoczenie zera
że
![{\displaystyle \psi ^{-1}(0)\cap W=\varphi (U)\cap W.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5468ebf41e8f6e449c40c89eb7801f1a797fde61)
Przypisy
- ↑ funkcja uwikłana, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2015-02-19] .
Bibliografia
- Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979. Brak numerów stron w książce
- Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach 2. Warszawa: PWN, 2005. Brak numerów stron w książce
- Jinpeng An, Karl-Herman Neeb: An implicit function theorem for Banach spaces and some applications. Math. Z., 262 (2009), no. 3, s. 627–643.
Linki zewnętrzne
- Prezentacja na temat funkcji uwikłanych, wraz z przykładem wykorzystania ich w ekonomii. gwsp.gliwice.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2007-04-01)].
- NKC: ph606734
- J9U: 987007553157705171