Homomorfizm ciał
Homomorfizm ciał – przekształcenie jednego ciała w drugie, które zachowuje strukturę.
Definicja formalna
Niech oraz będą dowolnymi ciałami.
Homomorfizmem ciał i nazywamy dowolne odwzorowanie takie, że
- – zachowane jest działanie addytywne,
- – zachowane jest działanie multiplikatywne.
Własności
NIech jest homomorfizmem między ciałami R i S. Wtedy:
- – element neutralny dodawania w jest odwzorowywany na element neutralny dodawania w
- – element neutralny mnożenia jest odwzorowywany na element neutralny mnożenia w
- – element przeciwny jest odwzorowywany w element przeciwny, co wynika z rozumowania:
- – element odwrotny jest odwzorowywany w element odwrotny.
Obraz
Obrazem homomorfizmu nazywamy zbiór
czyli zbiór takich elementów które są wartościami odwzorowania na co najmniej jednym elemencie zbioru
Obrazem homomorfizmu jest podciało ciała S.
Monomorfizm
Osobny artykuł: monomorfizm.
Monomorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm, który jest różnowartościowy (jest iniekcją).
Epimorfizm
Osobny artykuł: epimorfizm.
Epimorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm typu „na” (będący suriekcją).
Homomorfizm jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy
Izomorfizm
Osobny artykuł: izomorfizm.
Homomorfizm nazywamy izomorfizmem ciał wtedy i tylko wtedy, gdy jest wzajemnie jednoznaczny (jest bijekcją), czyli jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem. Wtedy: istnieje (ponieważ jest wzajemnie jednoznaczne) i również jest izomorfizmem.
Mówimy, że ciała i są izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm (równoważnie: izomorfizm ) i oznaczamy W dowolnym zbiorze ciał relacja izomorficzności jest relacją równoważności.
Zobacz też
- automorfizm
- endomorfizm
- morfizmy grup
Bibliografia
- Adamson, Iain T. (1982). Introduction to Field Theory (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-28658-1.