Ideał (teoria pierścieni)

Ideał – podzbiór pierścienia o własnościach pozwalających na konstrukcję pierścienia ilorazowego. Pojęcie ideału zostało wprowadzone przez Dedekinda^[1] jako uogólnienie pojęcia liczby idealnej, rozważanego przez Kummera. Badania Dedekinda były kontynuowane przez Hilberta i przez Emmy Noether.

Ideały odgrywają w teorii pierścieni rolę analogiczną do podgrup normalnych w teorii grup.

W dalszej części artykułu nie zakłada się przemienności pierścieni ani istnienia jedynki.

Ideałem pierścienia ${\displaystyle R}$ nazywa się każdy podzbiór ${\displaystyle I}$ pierścienia ${\displaystyle R}$ o tej własności, że:

1. ${\displaystyle I}$ jest podgrupą grupy addytywnej pierścienia,
2. jeśli ${\displaystyle \gamma \in R}$ oraz ${\displaystyle \alpha \in I,}$ to ${\displaystyle \gamma \alpha \in I,}$
3. jeśli ${\displaystyle \gamma \in R}$ oraz ${\displaystyle \alpha \in I,}$ to ${\displaystyle \alpha \gamma \in I.}$

W przypadku, gdy ${\displaystyle R}$ jest pierścieniem przemiennym warunki 2. i 3. są równoważne.

Warunkowi 1. równoważny jest następujący warunek:

1′. ${\displaystyle I}$ jest niepusty oraz ${\displaystyle \alpha -\beta \in I}$ dla wszelkich ${\displaystyle \alpha ,\beta \in I.}$

Uwaga: W kontekście pierścieni, które są algebrami (nad pewnym ciałem) zakłada się dodatkowo, że ${\displaystyle I}$ jest podprzestrzenią liniową algebry ${\displaystyle R.}$ Uwaga ta dotyczy również ideałów jednostronnych zdefiniowanych niżej.

Podobnie definiuje się ideały jednostronne w pierścieniu ${\displaystyle R{:}}$

• podzbiór ${\displaystyle L}$ pierścienia ${\displaystyle R}$ jest ideałem lewostronnym, gdy spełnia warunki 1. i 2.
• podzbiór ${\displaystyle P}$ pierścienia ${\displaystyle R}$ jest ideałem prawostronnym, gdy spełnia warunki 1. i 3.

W przypadku, gdy ${\displaystyle R}$ jest nieprzemienny, dla odróżnienia, ideał (zbiór spełniający warunki 1., 2. i 3.) nazywa się ideałem dwustronnym albo ideałem obustronnym.

Niech ${\displaystyle A}$ będzie podzbiorem pierścienia ${\displaystyle R.}$ Część wspólna dowolnej rodziny dwu-/lewo-/prawostronnych ideałów w ${\displaystyle R}$ jest nadal ideałem o danej własności. Obserwacja ta pozwala na definicję ideału dwu-/lewo-/prawostronnego generowanego przez zbiór ${\displaystyle A}$ (${\displaystyle A}$ nazywany jest wówczas zbiorem generatorów). I tak, symbolami ${\displaystyle RAR,}$ ${\displaystyle RA,}$ ${\displaystyle AR}$ oznacza się część wspólną rodziny wszystkich ideałów, odpowiednio, dwu-/lewo-/prawostronnych zawierających zbiór ${\displaystyle A}$ (w każdym przypadku rodzina ideałów zawierających ${\displaystyle A}$ jest niepusta, gdyż należy do niej ideał ${\displaystyle I=R;}$ rozważanie części wspólnej ma zatem sens).

Jeśli pierścień ${\displaystyle R}$ ma jedynkę, to wyżej zdefiniowane ideały generowane przez zbiór ${\displaystyle A}$ można opisać jawnie:

${\displaystyle RAR=\{l_{1}a_{1}p_{1}+\ldots +l_{n}a_{n}p_{n}\colon \;\;l_{i},p_{i},\in R,a_{i}\in A,n\in \mathbb {N} \},}$

${\displaystyle RA=\{l_{1}a_{1}+\ldots +l_{n}a_{n}\colon \;\;l_{i}\in R,a_{i}\in A,n\in \mathbb {N} \},}$

${\displaystyle AR=\{a_{1}p_{1}+\ldots +a_{n}p_{n}\colon \;\;p_{i},\in R,a_{i}\in A,n\in \mathbb {N} \}.}$

W przypadku, gdy pierścień jest przemienny, powyższe trzy zbiory są identyczne (postać drugiego i trzeciego jest oczywiści prostsza od pierwszego).

Jeśli w pierścieniu ${\displaystyle R}$ brak jedynki, to sumy w poszczególnych definicjach zbiorów należy zastąpić odpowiednio następującymi sumami

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(l_{i}a_{i}p_{i}+l_{i}^{'}a_{i}+a_{i}p_{i}^{'}+k_{i}\cdot a_{i}),\quad \sum _{i=1}^{n}(l_{i}a_{i}+k_{i}\cdot a_{i}),\quad \sum _{i=1}^{n}(a_{i}p_{i}+k_{i}\cdot a_{i})}$

gdzie ${\displaystyle l_{i},l_{i}^{'}p_{i},p_{i}^{'}\in R,a_{i}\in A,k_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} .}$

Ideały generowane przez zbiór skończony nazywa się ideałami skończenie generowanymi. Ideały generowane przez zbiór jednoelementowy („generowane przez jeden element”) nazywane są ideałami głównymi.

Z definicji natychmiast wynika, że sam pierścień ${\displaystyle R}$ jest ideałem (dwu-/lewo-/prawostronnym). Ideały pierścienia ${\displaystyle R,}$ które są różne od ${\displaystyle R}$ nazywane są ideałami właściwymi. W przypadku pierścieni z jedynką, ideał ${\displaystyle I}$ jest właściwy wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera jedynki pierścienia.

 Osobny artykuł: ideał maksymalny.

Ideał (dwu-/lewo-/prawostronny) ${\displaystyle I}$ nazywany jest ideałem maksymalnym, gdy nie istnieje ideał właściwy, w którym jest on zawarty w sposób właściwy. Korzystając z lematu Kuratowskiego-Zorna (a więc aksjomatu wyboru), można udowodnić następujące twierdzenie:

• Twierdzenie Krulla: Każdy ideał (dwu-/lewo/-prawostronny) jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym.

Ponadto,

• Ideał ${\displaystyle I}$ (dwustronny) jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy ${\displaystyle R/I}$ jest pierścieniem z dzieleniem (bądź ciałem, gdy ${\displaystyle R}$ jest przemienny).

 Osobny artykuł: ideał pierwszy (teoria pierścieni).

Niech ${\displaystyle R}$ będzie pierścieniem przemiennym. Ideał ${\displaystyle I}$ pierścienia ${\displaystyle R}$ nazywa się ideałem pierwszym, gdy spełnia on następujący warunek:

jeżeli ${\displaystyle \alpha \cdot \beta \in I,}$ to ${\displaystyle \alpha \in I}$ lub ${\displaystyle \beta \in I.}$

Często używa się również w definicji warunku równoważnego:

jeżeli ${\displaystyle \alpha \cdot \beta \in I}$ oraz ${\displaystyle \alpha }$ nie należy do ${\displaystyle I,}$ to ${\displaystyle \beta \in I.}$

Każdy ideał maksymalny jest pierwszy. Ponadto, ideał ${\displaystyle I}$ jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy ${\displaystyle R/I}$ nie ma nietrywialnych dzielników zera (tj. ${\displaystyle R/I}$ jest dziedziną całkowitości).

Ideały pierwsze w teorii pierścieni pełnią rolę liczb pierwszych w teorii liczb.

Pierścień w którym każdy ideał jest ideałem pierwszym nazywany jest pierścieniem ideałów pierwszych.

• W dowolnym pierścieniu zbiór ${\displaystyle \{0\}}$ jest ideałem, zwanym trywialnym.
• Zbiór wszystkich elementów pierścienia ${\displaystyle R}$ jest ideałem w tym pierścieniu (zwanym niewłaściwym).
• W pierścieniu ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ liczb całkowitych przykładem ideału jest zbiór wszystkich liczb parzystych. Ideałem jest również zbiór wszystkich liczb podzielnych przez 9. Ogólniej, każdy ideał pierścienia ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ jest zbiorem wszystkich liczb podzielnych przez pewną liczbę naturalną ${\displaystyle k.}$ Zatem ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ jest pierścieniem ideałów głównych. Ideał pierścienia ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ jest pierwszy, wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem liczb podzielnych przez pewną liczbę pierwszą.
• Jedynymi ideałami dowolnego ciała są ideał trywialny (złożony z samego zera) i niewłaściwy (całe ciało).
• Jeśli ${\displaystyle f\colon R\to S}$ jest homomorfizmem pierścieni, to jego jądro ${\displaystyle \ker f}$ jest ideałem w pierścieniu ${\displaystyle R.}$
• Zbiór elementów nieodwracalnych pierścienia ${\displaystyle R}$ tworzy ideał wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle R}$ zawiera dokładnie jeden ideał maksymalny.

• Grupa liczb nieskończenie małych jest ideałem w pierścieniu liczb ograniczonych ciała liczb hiperrzeczywistych^[2].

Suma algebraiczna ideałów ${\displaystyle I}$ i ${\displaystyle J}$ pierścienia ${\displaystyle R,}$ czyli zbiór

${\displaystyle I+J=\{a+b:a\in I,b\in J\}}$

jest również ideałem w pierścieniu ${\displaystyle R.}$

Zbiór wszystkich iloczynów elementów dwóch ideałów ${\displaystyle I}$ i ${\displaystyle J}$ nie musi być ideałem. Dlatego przez ${\displaystyle IJ}$ rozumie się ideał generowany przez te iloczyny. Zatem:

${\displaystyle IJ=\{r_{1}a_{1}b_{1}+\ldots +r_{n}a_{n}b_{n}:r_{i}\in R,a_{i}\in I,b_{i}\in J,1\leqslant i\leqslant n,n\in \mathbb {N} \}.}$

Część wspólna ideałów ${\displaystyle I\cap J}$ również jest ideałem, podczas gdy teoriomnogościowa suma ideałów ${\displaystyle I\cup J}$ nie musi być ideałem, ale zawsze jest podzbiorem ideału ${\displaystyle IJ.}$

Część wspólna wszystkich ideałów pierwszych zawierających ideał ${\displaystyle I}$ w pierścieniu ${\displaystyle R}$ nazywana jest radykałem ideału ${\displaystyle I}$ w pierścieniu ${\displaystyle R.}$

• Wszystkie trzy powyższe operacje są łączne i przemienne.
• Iloczyn ideałów jest rozdzielny względem dodawania.
• Część wspólna ideałów jest modularna względem dodawania: jeśli ${\displaystyle I\supseteq K,}$ to ${\displaystyle I\cap (J+K)=(I\cap J)+K.}$
• ${\displaystyle (I+J)(I\cap J)\subseteq IJ}$
• Ideały ${\displaystyle I,J}$ nazywamy ideałami względnie pierwszymi, jeśli ${\displaystyle I+J=(1).}$ Na podstawie poprzedniego przykładu oznacza to, że ${\displaystyle I\cap J\subseteq IJ,}$ a ponieważ ${\displaystyle IJ\subseteq I\cap J,}$ więc dla ideałów względnie pierwszych zachodzi równość ${\displaystyle IJ=I\cap J.}$
• Przeciwobraz ideału przy homomorfizmie jest ideałem. Jeżeli ${\displaystyle \phi \colon R\to P}$ jest homomorfizmem i I jest ideałem P to ${\displaystyle \phi ^{-1}(I)}$ jest ideałem R. (przeciwobraz podgrupy jest podgrupą, iloczyn elementu ${\displaystyle \phi ^{-1}(I)}$ i elementu z jądra przechodzi na 0, więc jest w przeciwobrazie I, iloczyn z elementem spoza jądra przechodzi na element z I z definicji ideału i homomorfizmu).
• Obraz ideału przy epimorfizmie jest ideałem. Ogólniej obraz ideału przy homomorfizmie jest ideałem obrazu pierścienia przy homomorfizmie (niekoniecznie ideałem pierścienia, w który prowadzi homomorfizm).

Zobacz hasło ideał w Wikisłowniku