Iloczyn zewnętrzny (nie mylić z algebrą zewnętrzną) jest zdefiniowany następująco: mając dwa wektory kolumnowe (kontrawariantne)
![{\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u^{1}\\u^{2}\\\vdots \\u^{m}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\\vdots \\v^{n}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c539e0fc3be93732582cbaf598a7f7ff41eb1d4b)
ich iloczyn zewnętrzny jest macierzą
o m wierszach i n kolumnach, postaci[1]
![{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \equiv {\begin{bmatrix}u^{1}v^{1}&u^{1}v^{2}&\dots &u^{1}v^{n}\\u^{2}v^{1}&u^{2}v^{2}&\dots &u^{2}v^{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\u^{m}v^{1}&u^{m}v^{2}&\dots &u^{m}v^{n}\end{bmatrix}}=\mathbf {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c53a32c1e132a11a0464850e7c7d9bbae3d2397b)
gdzie elementy macierzy
wyrażają się wzorem
Dla ortogonalnych układów współrzędnych (dla których wektory kowariantne są równe kontrawariantnym tj.
) można użyć notacji mnożenia macierzowego[2]
![{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ^{T}={\begin{bmatrix}u^{1}\\u^{2}\\\vdots \\u^{m}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v^{1}&v^{2}&\dots &v^{n}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46156d78024e7691e47228bc589368b3c0261a9)
gdzie
w górnym indeksie oznacza transpozycję. Zwróćmy uwagę, że powyższe mnożenie macierzowe wektora kolumnowego z wierszowym jest możliwe, gdyż liczba kolumn wektora lewego zgadza się z liczbą wierszy wektora prawego (która jest równa 1, a całe działanie daje w wyniku macierz).
Przykład
Dla kartezjańskiego układu współrzędnych
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}2\\3\\4\\5\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1\\10\\100\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\3\\4\\5\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1\\10\\100\end{bmatrix}}^{T}={\begin{bmatrix}2\\3\\4\\5\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&10&100\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&20&200\\3&30&300\\4&40&400\\5&50&500\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12bc089580ede49ffc51b4d213822ec446ff5766)
Przypisy
- ↑ R.G. Lerner: Encyclopaedia of Physics. VHC, 1981. ISBN 0-89573-752-3. (ang.). Brak numerów stron w książce
- ↑ S. Lipschutz: Linear Algebra. McGraw-Hill, 2009. ISBN 978-0-07-154352-1. (ang.). Brak numerów stron w książce