Izomorfizm porządków
![]() | Ten artykuł od 2015-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Izomorfizm porządków – pojęcie w matematyce określające funkcję pomiędzy dwoma zbiorami uporządkowanymi pokazującą, że porządki te wyglądają tak samo. Termin ten jest również używany na określenie relacji bycia izomorficznymi porządkami.
Definicja
Niech będą porządkami częściowymi. Powiemy, że funkcja jest izomorfizmem porządków X i Y jeśli spełnione są dwa warunki:
- jest wzajemnie jednoznaczna
Porządki nazywamy izomorficznymi, gdy istnieje pomiędzy nimi izomorfizm.
Własności
Niech będą porządkami częściowymi. Jeśli porządki te są izomorficzne, to:
- zbiory i są równej mocy (ponieważ izomorfizm jest bijekcją)
- porządki mają taki sam diagram Hassego, tzn. muszą mieć taką samą liczbę elementów wyróżnionych: maksymalnych, minimalnych, oba muszą jednocześnie mieć lub nie mogą mieć elementu największego/najmniejszego.
Przykłady
Niech oznaczają zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i rzeczywistych, odpowiednio, a niech będzie naturalnym porządkiem.
- Porządki i nie są izomorficzne (zbiory i są różnej mocy)
- Porządki i nie są izomorficzne – co prawda zbiory są równej mocy, lecz zbiór jest gęsty, a nie.
- Porządki i nie są izomorficzne, bo w 0 jest elementem najmniejszym, a w nie ma elementu najmniejszego.
- Niech będzie zbiorem wszystkich liczb pierwszych z naturalnym porządkiem. Wówczas porządki i są izomorficzne, a izomorfizmem pomiędzy nimi jest funkcja odwzorowująca liczbę naturalną n na n-tą liczbę pierwszą.