Kresy dolny i górny
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/03/Supremum_illustration.png/220px-Supremum_illustration.png)
Kres (kraniec) dolny, infimum (łac. infimus „najniższy”) oraz kres (kraniec) górny, supremum (łac. supremus „najwyższy”) – pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją. Pojęcia te można określić w dowolnych zbiorach częściowo uporządkowanych, najczęściej jednak oba te terminy są używane w odniesieniu do zbiorów liczbowych.
Kresy w zbiorze liczb rzeczywistych
Definicje
Niech będzie niepustym podzbiorem.
Ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru nazywamy liczbę spełniającą:
- dla wszystkich elementów
Analogicznie ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru nazywamy liczbę niewiększą od wszystkich liczb tego zbioru.
Kresem górnym zbioru nazywamy najmniejsze z górnych ograniczeń tego zbioru, tj. liczbę spełniającą:
- jest ograniczeniem górnym zbioru
- jeśli jest ograniczeniem górnym zbioru to
Analogicznie kresem dolnym zbioru nazywamy największe ograniczenie dolne tego zbioru[1].
Kres górny zbioru oznaczamy kres dolny
Zapisy oraz oznaczają, że jest nieograniczony odpowiednio z dołu lub z góry (zob. rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych).
Własności
- Każdy niepusty podzbiór ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tę własność nazywa się zupełnością zbioru liczb rzeczywistych (zob. aksjomat ciągłości).
- Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa, to jest ona jego kresem górnym. Analogicznie, jeżeli istnieje liczba najmniejsza, to jest ona jego kresem dolnym.
- Przypuśćmy, że jest niepustym zbiorem oraz wówczas
- wtedy i tylko wtedy, gdy oraz
- wtedy i tylko wtedy, gdy oraz
- Jeżeli oraz oznaczymy to:
Przykłady
- Niech Wówczas:
- ponieważ 0 jest najmniejszą liczbą zbioru A.
- ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A.
- Niech Wówczas:
- bo 0 jest dolnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba większa od 0 takim ograniczeniem nie jest.
- bo 3 jest górnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba mniejsza od 3 takim ograniczeniem nie jest.
- Niech Wówczas podobnie jak dla zbioru oraz
- Niech Wówczas:
- gdyż 1 jest górnym ograniczeniem D, a jednocześnie żadna liczba mniejsza od 1 takim ograniczeniem nie jest.
- Niech Wówczas:
- bowiem każda liczba jest ograniczeniem zarówno dolnym, jak i górnym zbioru E.
Kresy w zbiorach częściowo uporządkowanych
Pojęcia kresu dolnego i kresu górnego są zdefiniowane jedynie przy użyciu porządku, dlatego mogą być zdefiniowane w ogólniejszych strukturach.
Definicje
Niech będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech Wówczas definiujemy następujące elementy wyróżnione:
Element nazywamy ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru jeśli:
Element nazywamy ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru jeśli:
Element jest kresem górnym (supremum) zbioru jeśli jest elementem najmniejszym w zbiorze wszystkich ograniczeń górnych tzn.
- jest ograniczeniem górnym zbioru
- jeśli jest ograniczeniem górnym zbioru to
Element jest kresem dolnym (infimum) zbioru jeśli jest elementem największym w zbiorze wszystkich ograniczeń dolnych tzn.
- jest ograniczeniem dolnym zbioru
- jeśli jest ograniczeniem dolnym zbioru to
Jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór ma kres górny, to porządek nazywa się zupełnym.
Własności
- Każdy element zbioru jest zarówno ograniczeniem dolnym, jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego. Zatem kres dolny zbioru pustego musi być największym elementem zbioru a kres górny zbioru pustego – najmniejszym elementem zbioru (o ile takie istnieją w zbiorze ).
- Każdy podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego może mieć co najwyżej jeden kres dolny i jeden kres górny. Dlatego też oznaczenia i odpowiednio dla kresu dolnego i kresu górnego zbioru są jednoznaczne.
- Jeśli jest porządkiem liniowym, to istnieje zupełny porządek liniowy taki że i obcięcie zgadza się z oraz jest gęstym podzbiorem Porządek jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.
- Jeśli jest zupełnym porządkiem liniowym (tzn. każdy ograniczony niepusty podzbiór ma kres górny), to każdy ograniczony z dołu niepusty podzbiór ma kres dolny.
Przykłady
- Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład jeśli rozważymy zbiór liczb wymiernych z porządkiem naturalnym i zbiór to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym, ani żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym.
Ten sam zbiór jako podzbiór liczb rzeczywistych ma postać i ma oba kresy. - Niech będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór nie ma w zbiorze kresu górnego, bowiem jest zbiorem wszystkich górnych ograniczeń zbioru ale nie ma w nim najmniejszego ograniczenia. Analogicznie podzbiór nie ma w zbiorze kresu dolnego.
- Niech będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór ma w zbiorze kres górny podzbiór ma w zbiorze kres dolny
- Niech będzie algebrą Boole’a i niech będzie porządkiem boole’owskim na (tzn. dla wtedy i tylko wtedy, gdy ).
- Kres górny niepustego zbioru (jeśli istnieje) jest oznaczany przez i bywa nazywany sumą zbioru . Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn. takie dla których porządek boole’owski jest zupełny) są nazywane zupełnymi algebrami Boole’a. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii forsingu.
- Kres dolny niepustego zbioru (jeśli istnieje) jest oznaczany przez i bywa nazywany produktem (iloczynem) zbioru . Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole’a
- każdy niepusty podzbiór ma kres górny (tzn. sumę),
- każdy niepusty podzbiór ma kres dolny (tzn. produkt).
- Warto też zauważyć, że (zakładając istnienie odpowiednich kresów, np. zupełność algebry), jeśli to
- oraz
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Kres zbioru, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-21] .
Bibliografia
- Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 112–122, seria: Biblioteka Matematyczna.
- Agnieszka Wojciechowska: Elementy logiki i teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1979, s. 59–61. ISBN 83-01-00756-7.
- PWN: 3927340