Kryteria zbieżności szeregów
Kryteria zbieżności szeregów – grupa twierdzeń podających warunki (zwykle wystarczające) zbieżności bądź rozbieżności danego szeregu liczbowego.
W niniejszym artykule
(A) |
oznacza szereg liczbowy, tzn. szereg o wyrazach rzeczywistych lub zespolonych. Artykuł ten stanowi przegląd wybranych kryteriów; dowody i przykłady zastosowań prezentowane są w artykułach dotyczących konkretnych kryteriów.
Warunek konieczny
Podstawowym kryterium zbieżności szeregu jest warunek konieczny zbieżności:
Jeżeli szereg (A) jest zbieżny, to
- [1].
Przez prawo kontrapozycji, jeżeli granica ciągu nie istnieje bądź istnieje i jest różna od to szereg (A) jest rozbieżny.
Warunek konieczny zbieżności pozwala stwierdzić czy dany szereg nie jest zbieżny; nie mówi natomiast niczego na temat zbieżności szeregu. Badanie problemu zbieżności szeregu zwykle zaczyna się od sprawdzenia warunku koniecznego, a jeżeli ten jest spełniony, przechodzi się do kolejnych kryteriów.
- Przykłady
- Szereg
- jest rozbieżny, gdyż
- W przypadku, gdy
- warunek konieczny zbieżności nie rozstrzyga czy szereg jest zbieżny czy nie. Istotnie, szereg harmoniczny jest rozbieżny, tj.
- mimo że
- [2].
- Szereg
- jest jednak zbieżny (zob. problem bazylejski), choć w tym przypadku również
Warunek Cauchy’ego
Każdy ciąg liczbowy jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego; zbieżność szeregu (A) oznacza zbieżność ciągu sum częściowych
Oznacza to, że szereg (A) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
- [3].
Zbieżność bezwzględna
Szereg (A) nazywany jest zbieżnym bezwzględnie, gdy zbieżny jest szereg
(│A│) |
- Twierdzenie
- Każdy szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny[4].
- Dowód
- Załóżmy, że szereg (│A│) jest zbieżny. Spełnia on wówczas warunek Cauchy’ego, tzn. dla każdej liczby istnieje taka liczba naturalna że dla oraz dowolnego
- Z nierówności trójkąta wynika, że
- a zatem szereg (A) także spełnia warunek Cauchy’ego, więc jest zbieżny.
Powyższe rozróżnienie jest istotne, może się bowiem zdarzyć, że dany szereg jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie – mówi się wtedy, że szereg jest zbieżny warunkowo. Twierdzenie Riemanna mówi, że można tak poprzestawiać wyrazy szeregu warunkowo zbieżnego liczb rzeczywistych, aby jako sumę nowego szeregu otrzymać dowolną, z góry zadaną liczbę.
Szeregi o wyrazach nieujemnych
Ponieważ zbieżność bezwzględna implikuje zbieżność, istotne są kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych, które mogą być traktowane jako kryteria zbieżności bezwzględnej.
Wspólnym założeniem poniższych twierdzeń jest to, że wyrazy szeregu (A) są nieujemne. Bez straty dla ogólności wypowiadanych niżej twierdzeń można przyjąć, że szeregi te mają wyrazy dodatnie, tj.
i takie założenie jest niżej poczynione.
Kryterium porównawcze
Osobny artykuł: kryterium porównawcze.
Niech
(B) |
będzie szeregiem o wyrazach nieujemnych. Załóżmy, że istnieje takie że dla wszelkich zachodzi nierówność
Wówczas
- jeżeli szereg (B) jest zbieżny, to szereg (A) jest również zbieżny;
- jeżeli szereg (A) jest rozbieżny, to szereg (B) jest również rozbieżny[5].
- Wersja graniczna
Pod założeniem, jeżeli istnieje granica
- gdy to ze zbieżności szeregu (B) wynika zbieżność szeregu (A);
- gdy to z rozbieżności szeregu (B) wynika rozbieżność szeregu (A)[6].
Jeżeli oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne[7].
- Wersja ułamkowa
Pod założeniem, jeżeli dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność
ze zbieżności szeregu (B) wynika zbieżność szeregu (A) (a więc z rozbieżności szeregu (A) wynika rozbieżność szeregu (B))[8].
Kryterium d’Alemberta
Osobny artykuł: kryterium d’Alemberta.
Niech
- Jeżeli dla dostatecznie dużych oraz pewnego spełniona jest nierówność
- to szereg (A) jest zbieżny.
- Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność
- Wersja graniczna
Jeżeli istnieje granica
to
Kryterium Cauchy’ego
Osobny artykuł: kryterium Cauchy’ego.
- Jeżeli
- to szereg (A) jest zbieżny.
- Jeżeli
- Wersja graniczna
Jeżeli istnieje granica
to
Kryterium Raabego
Osobny artykuł: kryterium Raabego.
Niech
- Jeżeli dla dostatecznie dużych oraz pewnego spełniona jest nierówność
- to szereg (A) jest zbieżny.
- Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność
Kryterium Raabego można wypowiedzieć w sposób bardziej zwięzły.
- Jeżeli
- to szereg (A) jest zbieżny.
- Wersja graniczna
Jeżeli istnieje granica
to
Kryterium Schlömilcha
Osobny artykuł: kryterium Schlömilcha.
Niech
- Jeżeli
- to szereg (A) jest zbieżny.
Kryterium Kummera (Diniego-Kummera)
Osobny artykuł: kryterium Kummera.
Niech będzie takim ciągiem o wyrazach dodatnich, że
Niech ponadto
- Jeżeli dla dostatecznie dużych oraz pewnego spełniona jest nierówność
- to szereg (A) jest zbieżny.
- Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność
- Wersja graniczna
Kryterium Kummera można spotkać również w niecło słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg jest zbieżny do pewnego to
Kryterium Bertranda
Osobny artykuł: kryterium Bertranda.
Niech
Wówczas
- szereg (A) jest zbieżny, gdy
- szereg (A) jest rozbieżny, gdy
- Wersja graniczna
Kryterium Bertranda można spotkać również w nieco słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg jest zbieżny do pewnego to
W przypadku, gdy kryterium nie rozstrzyga.
Kryterium Gaussa
Osobny artykuł: kryterium Gaussa.
Jeżeli istnieją takie liczby oraz ciąg ograniczony o tej własności, że dla dostatecznie dużych zachodzi związek
to
Kryterium całkowe
Osobny artykuł: kryterium całkowe.
Niech będzie funkcją dodatnią i malejącą. Niech ponadto dla każdego Wówczas szereg (A) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżna jest całka niewłaściwa
- [20].
Kryterium Jermakowa
Osobny artykuł: kryterium Jermakowa.
Niech będzie nieujemną, malejącą funkcją ciągłą. Jeżeli dla dostatecznie dużych tj. dla pewnego spełniona jest nierówność
to szereg
jest zbieżny. W przypadku gdy dla dostatecznie dużych zachodzi nierówność
to szereg ten jest rozbieżny[21].
Kryterium Cauchy’ego zagęszczające
Osobny artykuł: Kryterium Cauchy’ego zagęszczające.
Jeżeli ciąg wyrazów szeregu (A) jest nierosnący to szereg (A) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
(C) |
W sformułowaniu kryterium Cauchy’ego zagęszczającego (inaczej: kryterium zagęszczania lub konsensacyjnego) szereg (C) można zastąpić szeregiem
dla dowolnej niezerowej liczby naturalnej [22].
Kryterium Schlömilcha zagęszczające
Osobny artykuł: Kryterium Schlömilcha zagęszczające.
Niech dany będzie rosnący ciąg liczb naturalnych
o tej własności, że
dla pewnego oraz wszystkich
Jeżeli ciąg wyrazów szeregu (A) jest nierosnący, to szereg (A) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
- [23].
Szeregi o wyrazach dowolnych
Kryterium Leibniza
Osobny artykuł: kryterium Leibniza.
Jeżeli ciąg liczbowy spełnia następujące warunki:
- dla wszystkich
- ciąg jest nierosnący, tj.
to szereg
jest zbieżny.
Kryterium Abela
Osobny artykuł: kryterium Abela.
Niech będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli szereg (A) jest zbieżny, a ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to szereg
jest zbieżny[24].
Kryterium Dirichleta
Osobny artykuł: kryterium Dirichleta zbieżności szeregów liczbowych.
Jeżeli ciąg sum częściowych
szeregu (A) jest ograniczony, a jest ciągiem liczb rzeczywistych, który jest monotoniczny i zbieżny do to szereg
jest zbieżny.
Szeregi funkcyjne
Osobny artykuł: szereg funkcyjny.
Niech będzie dowolnym zbiorem oraz niech
będzie ciągiem funkcji. Kryteria zbieżności szeregów liczbowych stosowane do szeregów
mogą jedynie rozstrzygać o zbieżności punktowej; nie mówią jednak nic o możliwej zbieżności jednostajnej. Wyszczególnione niżej kryteria zbieżności szeregów funkcyjnych pozwalają rozstrzygać o tym typie zbieżności.
Niżej
oraz
są dowolnymi ciągami funkcji.
Kryterium Weierstrassa
Osobny artykuł: kryterium Weierstrassa.
Jeżeli dla każdej liczby naturalnej istnieje taka liczba że
dla każdego elementu zbioru oraz szereg liczbowy
jest zbieżny, to szereg funkcyjny
jest zbieżny jednostajnie w zbiorze [25].
Kryterium Abela
Osobny artykuł: kryterium Abela.
Jeśli
- szereg
- jest zbieżny jednostajnie w zbiorze
- dla każdego ze zbioru ciąg jest monotoniczny;
- istnieje taka liczba że dla prawie każdej liczby naturalnej oraz wszystkich elementów zbioru spełniony jest warunek
jest zbieżny jednostajnie w zbiorze [26].
Kryterium Dirichleta
Osobny artykuł: kryterium Dirichleta zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych.
Jeżeli
- istnieje taka liczba dodatnia że dla wszystkich liczb naturalnych oraz wszystkich elementów zbioru
- dla każdego ze zbioru ciąg jest monotoniczny oraz zbieżny jednostajnie do
jest zbieżny jednostajnie w zbiorze [27].
Przypisy
- ↑ Kuratowski 1961 ↓, s. 42.
- ↑ Kuratowski 1961 ↓, s. 43.
- ↑ Kuratowski 1961 ↓, s. 41.
- ↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 255.
- ↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 227–228.
- ↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 228 [Poprawne sformułowanie w akapicie „Jeśli natomiast szereg (B) jest rozbieżny...”. We wcześniejszym akapicie "Twierdzenie 2. Jeśli istnieje granica..." jest błąd w druku.].
- ↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 228.
- ↑ Fichtenholz 1965 ↓, s. 228–229.
- ↑ a b Fichtenholz 1966 ↓, s. 234.
- ↑ a b Fichtenholz 1966 ↓, s. 233.
- ↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 234–235.
- ↑ Musielak i Musielak 2000 ↓, s. 61–62.
- ↑ Leja 1971 ↓, s. 194.
- ↑ Musielak i Musielak 2000 ↓, s. 62.
- ↑ Prus-Wiśniowski 2009 ↓, s. 119.
- ↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 239.
- ↑ a b Fichtenholz 1966 ↓, s. 240.
- ↑ Stromberg 2015 ↓, s. 408.
- ↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 241.
- ↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 243.
- ↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 246.
- ↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 250.
- ↑ Bonar i Khoury 2006 ↓, s. 44–45.
- ↑ Kuratowski 1961 ↓, s. 44.
- ↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 369.
- ↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 370.
- ↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 371.
Bibliografia
- D.D.D.D. Bonar D.D.D.D., M.M. Khoury M.M., jr., Real Infinite Series, Washington DC: Mathematical Association of America, 2006 .
- Grigorij MichajłowiczG.M. Fichtenholz Grigorij MichajłowiczG.M., Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1965 .
- Grigorij MichajłowiczG.M. Fichtenholz Grigorij MichajłowiczG.M., Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 2, Warszawa: PWN, 1966 .
- KonradK. Knopp KonradK., Theory and Application of Infinite Series, London-Glasgow: Blackie & Son Ltd., 1990 .
- KazimierzK. Kuratowski KazimierzK., Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej, Warszawa: PWN, 1961 .
- FranciszekF. Leja FranciszekF., Rachunek różniczkowy i całkowy, wyd. 11, Warszawa: PWN, 1971 .
- JulianJ. Musielak JulianJ., HelenaH. Musielak HelenaH., Analiza matematyczna I/1, Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000 .
- FranciszekF. Prus-Wiśniowski FranciszekF., A Refinement of Raabe’s Test, „The American Mathematical Monthly”, 115 (3), marzec 2008, s. 249–252, JSTOR: 27642449 .
- FranciszekF. Prus-Wiśniowski FranciszekF., Comparison of Raabe’s and Schlömilch’s tests, „Tatra Mt. Math. Publ”, 42, 2009, s. 119–130 .
- B.B. Ram B.B., V.K.V.K. Srinivasan V.K.V.K., Remarks on Raabe’s test in infinite series, „International Journal of Mathematical Education in Science and Technology”, 9 (3), 1978, s. 361–363 .
- Karl R.K.R. Stromberg Karl R.K.R., An Introduction to Classical Real Analysis, Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 2015, ISBN 978-1-4704-2544-9 .