Krzywa eliptyczna
![]() | Niektóre z zamieszczonych tu informacji wymagają weryfikacji. Uwagi: dużo błędów zostało zakomentowanych w kodzie strony. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/76/Elliptic_curve_simple.png)
Krzywa eliptyczna – pojęcie z zakresu geometrii algebraicznej, oznaczające według współczesnej definicji gładką krzywą algebraiczną (czyli rozmaitość algebraiczną wymiaru 1) o genusie równym 1 wraz z wyróżnionym punktem zwanym „punktem w nieskończoności”. Elementy krzywej rozumianej jako zbiór nazywa się, zgodnie z terminologią geometryczną, punktami.
Dowodzi się, że każda krzywa eliptyczna jest rozmaitością abelową – można na niej zdefiniować w sensowny (zgodny z własnościami geometryczno-algebraicznymi) sposób operację grupową („dodawanie” punktów), dla której jest elementem neutralnym.
Można również pokazać, że każdą krzywą eliptyczną nad dowolnym ciałem można zapisać w postaci równania
dla pewnych stałych gdzie to współrzędne punktów na płaszczyźnie Reprezentacja taka z reguły nie jest jednoznaczna. W szczególnych przypadkach definicję tę można znacznie uprościć. Równanie to przedstawia tzw. model afiniczny krzywej eliptycznej.
Postać normalna krzywej
W przypadku, gdy charakterystyka ciała jest inna, niż 2 i 3 (czyli, w szczególności, np. jeśli krzywa jest zdefiniowana nad ciałem liczb zespolonych), równanie afiniczne krzywej można uprościć do postaci
nazywanej równaniem (postacią) Weierstrassa.
Dla ciała charakterystyki 3 najbardziej ogólną postacią równania jest
Zastosowania
Dzięki zastosowaniu krzywych eliptycznych udało się rozwiązać jeden z najstarszych problemów matematycznych: przeprowadzić dowód wielkiego twierdzenia Fermata[1]. Problem ten pozostawał nierozwiązany przez ponad 300 lat, zaś jego rozwiązanie podał Wiles w roku 1993, korzystając właśnie z pojęć z zakresu krzywych eliptycznych. Dowód jednak zawierał luki, które wraz ze współpracownikami Wilesowi udało się usunąć w roku 1994.
Jednym z kluczowych zastosowań krzywych eliptycznych współcześnie jest kryptografia.
Osobny artykuł: Kryptografia krzywych eliptycznych.
Zobacz też
![]() | Zobacz multimedia związane z tematem: Krzywa eliptyczna |
- funkcje eliptyczne
- kryptografia krzywych eliptycznych
Przypisy
- ↑ Krzywa eliptyczna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-30] .
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Elliptic Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
Jennifer Balakrishnan, E is for Elliptic Curves (ang.), Oxford University Mathematical Institute, maths.ox.ac.uk, 19 sierpnia 2022 [dostęp 2023-05-29].
- PWN: 3897559
- Britannica: topic/elliptic-curve, topic/elliptic-equation
- DSDE: elliptisk_kurve