Kwantyfikator egzystencjalny, kwantyfikator mały, kwantyfikator szczegółowy – kwantyfikator oznaczający, że istnieje takie podstawienie zmiennej, dla którego dane twierdzenie (funkcja zdaniowa) jest prawdziwe.
Stosuje się dwie postacie graficzne:
(zapis ten jest związany z angielskim zwrotem „there exists”)
oraz
![{\displaystyle \bigvee _{x}\phi (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6c629d31d0a0a5094d81ee9cafc80fd3e7a86b)
W obu przypadkach czyta się „istnieje takie
dla którego zachodzi
”.
Gdy formuła wymaga ustalenia zakresu dla zmiennej, np.:
![{\displaystyle \exists x:(x\in \mathbb {A} \land \phi (x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8f397e1a6df2f9b8c9a3d4f97811aaeb702426)
![{\displaystyle \bigvee _{x}(x\in \mathbb {A} \land \phi (x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a9bff347d890d6c62035bf08107a507435c149a)
to używa się uproszczonej notacji:
![{\displaystyle \exists x\in \mathbb {A} :\phi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac1cbbd028625db4dd2000d6b3dfd49647c25927)
![{\displaystyle \bigvee _{x\in \mathbb {A} }\phi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c2cfe0f480282a5e6edfce71667ee3ab162140)
I czyta się „dla pewnego
należącego do zbioru
zachodzi
”.
Jeżeli
jest skończonym podzbiorem (niekoniecznie właściwym) argumentów
to:
![{\displaystyle \exists x\in \mathbb {X} :\phi (x)\equiv \phi (x_{0})\lor \phi (x_{1})\lor \cdots \lor \phi (x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a7a30f4bb2dafbf7792ee1276bce5e2bd2f404f)
Zanegowany kwantyfikator egzystencjalny staje się kwantyfikatorem ogólnym i na odwrót:
![{\displaystyle \neg \exists x:\phi (x)=\forall x:\neg \phi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ae391119e1b15f83ff32308e02cffdafb1a129)
![{\displaystyle \neg \forall x:\phi (x)=\exists x:\neg \phi (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ce25bdf606f36110177b21cf61b6f37faa7928)
Kwantyfikator jednoznaczności
Stosowany bywa również zapis:
![{\displaystyle \exists !\,x\in \mathbb {A} :\phi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f6b65aff5c5fa8016369a89c7155269010f0ab)
oznaczający „istnieje dokładnie jedno x z A, dla którego zachodzi
”. Jest to kwantyfikator jednoznaczności(inne języki) który może zostać łatwo zredukowany do podstawowych kwantyfikatorów:
![{\displaystyle \exists x{\Bigl (}\phi (x)\land \forall y(\phi (y)\Rightarrow y=x){\Bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8102b2a5f1117c0b533535fc82cbe0210bc10f22)
Zobacz też
Kontrola autorytatywna (kwantyfikator):
Encyklopedie internetowe:
- Britannica: topic/existential-quantifier