Liczba epsilonowa – liczba porządkowa
o tej własności, że
![{\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af9f340c8ddd5ed5a14bd6282e9dd153a5bc7b2)
Najmniejszą liczbą epsilonową jest liczba
![{\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdots }}}=\sup\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b16954ec58ff630fc7c1463d92005ec12ac196)
Liczba
jest przeliczalna – ma ona zastosowanie w wielu dowodach pozaskończonych, na przykład w dowodzie twierdzenia Goodsteina. Kolejne liczby epsilonowe indeksujemy kolejnymi liczbami porządkowymi, na przykład:
![{\displaystyle \varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\dots ,\varepsilon _{\omega },\dots ,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},\dots ,\varepsilon _{\omega _{1}},\dots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/881d9053391d8c5defe11b2f659c2db9a4421288)
![{\displaystyle \varepsilon _{1}=\sup\{\varepsilon _{0}+1,\varepsilon _{0}\cdot \omega ,{\varepsilon _{0}}^{\omega },{\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }},\dots \}=\sup\{0,1,\varepsilon _{0},{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}},{\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}}},\dots \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2f14a1391f0ae651486cc932e7e9764af6e7eb)
![{\displaystyle \varepsilon _{\omega }=\sup\{\varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\dots \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35adb6f15e437b734e9c8a93bc0544ab19df91e)
Własności
- Liczba
jest przeliczalna wtedy i tylko wtedy, gdy liczba
jest przeliczalna. - Każda nieprzeliczalna liczba kardynalna jest liczbą epsilonową.
- Suma (mnogościowa) dowolnej niepustej rodziny liczb epsilonowych jest liczbą epsilonową.
- Każda liczba epsilonowa jest nierozkładalna, to znaczy jeśli
jest liczbą epsilonową oraz
to ![{\displaystyle \alpha +\beta <\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e28e7581fcdd4cf13680731118a4ec03f8fd0dca)
- Jeśli
jest liczbą epsilonową, to
- (a)
dla każdej liczby ![{\displaystyle \beta <\varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c69c930dc4a3b6be342f931884dbacdc3e897dc)
- (b)
dla każdej liczby ![{\displaystyle 1\leqslant \beta <\varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/697fb303394cc1ccefc9f78371fe45ef988881de)
- (c)
dla każdej liczby ![{\displaystyle 2\leqslant \beta <\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3838b903d222bfeafc1965e3716a0c84df4d992e)
Zastosowania
- Dowód twierdzenia Goodsteina.
- Liczby epsilonowe można zastosować do uzasadnienia następującego twierdzenia: istnieje nieskończenie wiele par liczb porządkowych
takich, że
(zauważmy, że wśród liczb naturalnych taką własność mają jedynie pary (2,4) i (4,2)). Przypomnijmy, że dla dowolnej liczby porządkowej
(zob. arytmetyka liczb porządkowych) zachodzi równość
Istotnie,
Jeśli
jest dowolną liczbą epsilonową, to dla
oraz
para
ma żądaną własność. Istotnie:
![{\displaystyle \beta ^{\alpha }=(\varepsilon \cdot \omega )^{\omega }=(\omega ^{\varepsilon }\cdot \omega )^{\omega }=(\omega ^{\varepsilon +1})^{\omega }=\omega ^{\varepsilon \cdot \omega }=\alpha ^{\beta }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa1b6d0e5180d63bbb517db3b825540367624347)
Zobacz też
- liczba porządkowa Bachmanna-Howarda
Bibliografia
- Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria Mnogości. Warszawa: PWN, 2007. ISBN 978-83-01-15232-1. Brak numerów stron w książce
- Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Wyd. drugie poprawione. Warszawa: PWN, 1965. Brak numerów stron w książce