Metryka Lévy’ego-Prochorowa

Metryka Lévy’ego-Prochorowa – metryka określona na rodzinie miar probabilistycznych w przestrzeni metrycznej. Została wprowadzona w 1956 r. przez sowieckiego matematyka Jurija Prochorowa jako uogólnienie metryki Lévy’ego.

Niech ${\displaystyle (M,d)}$ będzie przestrzenią metryczną z σ-ciałem zbiorów borelowskich ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(M).}$ Ponadto niech ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ będzie rodziną wszystkich miar probabilistycznych określonych na przestrzeni mierzalnej ${\displaystyle (M,{\mathcal {B}}(M)).}$

Dla podzbioru ${\displaystyle A\subseteq M}$ zdefiniujmy epsilonowe otoczenie zbioru ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{\varepsilon }:=\{p\in M:\exists q\in A,\ d(p,q)<\varepsilon \}=\bigcup _{p\in A}B_{\varepsilon }(p),}$

gdzie ${\displaystyle B_{\varepsilon }(p)}$ jest kulą otwartą wokół ${\displaystyle p}$ o promieniu ${\displaystyle \varepsilon .}$

Metryka Lévy’ego-Prochorowa ${\displaystyle \pi :{\mathcal {P}}(M)^{2}\to [0,+\infty )}$ to odległość pomiędzy dwoma miarami probabilistycznymi ${\displaystyle \mu }$ i ${\displaystyle \nu }$ na ${\displaystyle M,}$ zdefiniowana jako

${\displaystyle \pi (\mu ,\nu ):=\inf \left\{\varepsilon >0:\forall A\in {\mathcal {B}}(M),\ \mu (A)\leqslant \nu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{oraz}}\ \nu (A)\leqslant \mu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \right\}.}$

Jasne jest, że dla miar probabilistycznych zachodzi ${\displaystyle \pi (\mu ,\nu )\leqslant 1.}$

Niektórzy autorzy opuszczają jedną z dwóch nierówności lub wybierają jedynie otwarty lub domknięty zbiór ${\displaystyle A.}$ Jedna z nierówności implikuje drugą, a ${\displaystyle ({\bar {A}})^{\varepsilon }=A^{\varepsilon },}$ ale ograniczenie się jedynie do zbiorów otwartych może zmienić zdefiniowaną metrykę, jeśli ${\displaystyle M}$ nie jest przestrzenią polską.

• Jeśli ${\displaystyle (M,d)}$ jest przestrzenią ośrodkową, zbieżność miar w metryce Lévy’ego-Prochorowa jest równoważna słabej zbieżności miar. Zatem w tym przypadku ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ z topologią słabej zbieżności jest metryzowalna, a metryką tą jest właśnie ${\displaystyle \pi .}$
• Przestrzeń metryczna ${\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)}$ jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle (M,d)}$ jest ośrodkowa.
• Jeśli ${\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)}$ jest zupełna to ${\displaystyle (M,d)}$ jest zupełna. Ponadto jeśli wszystkie miary w ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ mają ośrodkowy nośnik, wówczas zachodzi również odwrotna implikacja: jeśli ${\displaystyle (M,d)}$ jest zupełna, to ${\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)}$ jest zupełna. W szczególności jest to sytuacja, gdy ${\displaystyle (M,d)}$ jest ośrodkowa.
• Jeśli ${\displaystyle (M,d)}$ jest ośrodkowa i zupełna, wówczas podzbiór ${\displaystyle {\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)}$ jest warunkowo zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jego domknięcie względem ${\displaystyle \pi }$ jest zwarte względem ${\displaystyle \pi .}$
• Jeśli ${\displaystyle (M,d)}$ jest ośrodkowa, to ${\displaystyle \pi (\mu ,\nu )=\inf\{\alpha (X,Y):P_{X}=\mu ,P_{Y}=\nu \},}$ gdzie ${\displaystyle \alpha (X,Y)=\inf\{\varepsilon >0:\mathbb {P} (d(X,Y)>\varepsilon )\leqslant \varepsilon \}}$ jest metryką Ky Fana, a ${\displaystyle P_{X}}$ oznacza rozkład zmiennej losowej ${\displaystyle X}$^[1][2].

• jędrna rodzina miar
• metryka Radona
• twierdzenie Prochorowa

• Billingsley, Patrick: Convergence of Probability Measures. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1999. ISBN 0-471-19745-9. OCLC 41238534. (ang.). Brak numerów stron w książce
• R.M. Dudley: Real analysis and probability. Pacific Grove, Calif.: Wadsworth & Brooks/Cole, 1989. ISBN 0-534-10050-3. (ang.). Brak numerów stron w książce
• Svetlozar T. Račev: Probability metrics and the stability of stochastic models. Chichester: Wiley, 1991. ISBN 0-471-92877-1. (ang.). Brak numerów stron w książce