R-moduł wolny generowany przez zbiór
albo suma prosta R nad X – zbiór funkcji
w pierścień
które przyjmują niezerową wartość tylko dla skończonej liczby swoich argumentów. Oznacza się go zwykle
lub
Wraz z działaniami zdefiniowanymi punktowo tworzy moduł nad
Definicja
Niech
będzie pierścieniem, a
– dowolnym zbiorem. Rozpatrzmy funkcje postaci
Nośnikiem
nazwiemy zbiór
![{\displaystyle \mathrm {supp} f:=\{x\in X;\ f(x)\neq 0\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4e6cc72790711561486301af5aac9351bad188)
Zbiór funkcji
o skończonym nośniku nazywamy
-modułem wolnym generowanym przez
albo sumą prostą
nad
i oznaczamy
lub
Zbiór
tworzy moduł nad
z działaniami zdefiniowanymi punktowo.
Baza i przedstawienie
Dowolną funkcję
możemy jednoznacznie przedstawić w postaci
![{\displaystyle f(y)=\sum _{x\in X}f(x)\delta _{x}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df56e42c7f8db970d4cb12024c2f860eadc3deb5)
dla każdego
gdzie
jest zdefiniowane wzorem
![{\displaystyle \delta _{x}(y):={\begin{cases}1&\mathrm {gdy} \ y=x\\0&\mathrm {gdy} \ y\neq x.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df161e121e2ca8a2060f93617b97390360920257)
Wynika z tego, że funkcje
rozpinają moduł
Funkcje
bardzo często utożsamia się z
i zapisuje po prostu jako
Wówczas funkcję
można zapisać jako
![{\displaystyle f=\sum _{x\in X}f(x)x\quad \mathrm {lub} \quad f=\sum _{x\in X}f_{x}x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd5ae426fd9de0a6656689a4389395d92d5c55d4)
Zobacz też
Bibliografia
- Z. Opial: Algebra Wyższa. PWN, 1970. Brak numerów stron w książce
Linki zewnętrzne
- Clifford algebra, geometric algebra, and applications