Odwrotna dystrybuanta

Odwrotna dystrybuanta, funkcja kwantylowa[1] – uogólniona funkcja odwrotna do dystrybuanty danego rozkładu prawdopodobieństwa. Zwykle oznaczana F − 1 ( p ) {\displaystyle F^{-1}(p)} [2][3].

Jeżeli dystrybuanta F ( x ) {\displaystyle F(x)} jest funkcją ściśle rosnącą, wówczas funkcję odwrotną można zdefiniować jako

F − 1 ( p ) = { x ∈ R : p = F ( x ) } , {\displaystyle F^{-1}(p)=\{x\in \mathbb {R} :p=F(x)\},}

gdzie p ∈ ( 0 , 1 ) . {\displaystyle p\in (0,1).}

W przypadku, gdy dystrybuanta nie jest ściśle rosnąca, powyższa definicja nie jest jednoznaczna. Problemu tego unika się, definiując dystrybuantę odwrotną jako:

F − 1 ( p ) = inf { x ∈ R : p ⩽ F ( x ) } , {\displaystyle F^{-1}(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} :p\leqslant F(x)\},}

gdzie p ∈ ( 0 , 1 ) . {\displaystyle p\in (0,1).}

Tak zdefiniowana dystrybuanta odwrotna ma następujące własności:

F − 1 ( p ) {\displaystyle F^{-1}(p)} jest niemalejąca dla p ∈ ( 0 , 1 ) , {\displaystyle p\in (0,1),}
F − 1 ( p ) {\displaystyle F^{-1}(p)} jest lewostronnie ciągła dla p ∈ ( 0 , 1 ) , {\displaystyle p\in (0,1),}
F − 1 ( F ( x ) ) ⩽ x {\displaystyle F^{-1}(F(x))\leqslant x} dla x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } takiego, że Φ ( x ) ∈ ( 0 , 1 ) , {\displaystyle \Phi (x)\in (0,1),}
p ⩽ F ( F − 1 ( p ) ) {\displaystyle p\leqslant F(F^{-1}(p))} dla p ∈ ( 0 , 1 ) . {\displaystyle p\in (0,1).}

Odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego

Szczególne znaczenie ma odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego. Może być ona zapisana za pomocą funkcji specjalnej, zwanej funkcją błędu erf : {\displaystyle \operatorname {erf} {:}}

F μ , σ 2 − 1 ( p ) = μ + σ Φ − 1 ( p ) = μ + σ 2 erf − 1 ⁡ ( 2 p − 1 ) , p ∈ ( 0 , 1 ) . {\displaystyle F_{\mu ,\sigma ^{2}}^{-1}(p)=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p)=\mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).}

gdzie:

μ {\displaystyle \mu } – wartość oczekiwana rozkładu,
σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} – wariancja rozkładu.
F μ , σ 2 − 1 ( p ) {\displaystyle F_{\mu ,\sigma ^{2}}^{-1}(p)} – odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego o średniej μ {\displaystyle \mu } i wariancji σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}
Φ − 1 {\displaystyle \Phi ^{-1}} – odwrotna dystrybuanta standaryzowanego rozkładu normalnego N ( 0 , 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)} .

Zastosowanie

Odwrotną dystrybuantę stosuje się m.in. przy przekształcaniu zmiennych losowych o rozkładzie równomiernym na zmienne losowe o dowolnym innym rozkładzie prawdopodobieństwa[4], wg wzoru:

Y = F − 1 ( X ) , {\displaystyle Y=F^{-1}(X),}

gdzie:

Y {\displaystyle Y} – zmienna losowa o pożądanym rozkładzie prawdopodobieństwa,
F {\displaystyle F} – dystrybuanta tego rozkładu,
X {\displaystyle X} – zmienna losowa o rozkładzie równomiernym w przedziale (0,1).

Przypisy

  1. ↑ WalentyW. Ostasiewicz WalentyW., Myślenie statystyczne, Warszawa: Wolters Kluwer Polska, 2012, s. 57, ISBN 978-83-264-1555-5 [dostęp 2023-11-30] .
  2. ↑ KalimuthuK. Krishnamoorthy KalimuthuK., Handbook of statistical distributions with applications, Second edition, A Chapman & Hall book, Boca Raton London New York: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2016, s. 11, ISBN 978-1-4987-4149-1 [dostęp 2024-02-26] .
  3. ↑ DavidD. Ruppert DavidD., Statistics and data analysis for financial engineering, Springer texts in statistics, New York, NY: Springer, 2011, s. 604, ISBN 978-1-4419-7786-1 [dostęp 2024-02-26] .
  4. ↑ Prof. dr hab. Wojciech Niemiro, „Symulacje stochastyczne i metody Monte Carlo” (Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego). Wykład 3: Generowanie zmiennych losowych I. Ogólne metody, pkt 3.2.1. Tekst online.