Płaszczyzna fazowa

Ten artykuł należy dopracować: → napisać/poprawić definicję. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Płaszczyzna fazowa – sposób wizualizacji charakterystyki rozwiązań pewnej klasy równań różniczkowych – jednorodnych równań różniczkowych pierwszego rzędu w dwóch wymiarach.

Równanie jednorodne w dwóch wymiarach można zapisać jako układ równań:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x'(t)=f(x,y)\\y'(t)=g(x,y)\end{matrix}}\right.}$

z zadanym warunkiem początkowym:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(0)=x_{0}\\y(0)=y_{0}\end{matrix}}\right.}$

Rozwiązując ten układ otrzymuje się dwie funkcje:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(t)=p(t)\\y(t)=q(t)\end{matrix}}\right.}$

spełniające warunek początkowy. Można narysować wykresy funkcji ${\displaystyle x(t)}$ i ${\displaystyle y(t)}$ osobno, można jednak także wyrugować parametr ${\displaystyle t}$ i uzyskać wykres funkcji (trajektorię układu) w układzie współrzędnych ${\displaystyle (x,y),}$ czyli w płaszczyźnie fazowej.

Dla równania jednorodnego wektor stały ${\displaystyle (x,y)=(0,0)}$ jest rozwiązaniem. Oznacza to, że początek układu współrzędnych w płaszczyźnie fazowej jest zawsze punktem równowagi. W każdym innym punkcie płaszczyzny fazowej można narysować wektor o współrzędnych ${\displaystyle (f(x,y),g(x,y))}$ – jest on styczny do trajektorii układu przez ten punkt przechodzącej. Rysując takie wektory dla wielu punktów płaszczyzny, rozpoczynając z dowolnego jej punktu, można narysować przybliżony przebieg trajektorii układu i zorientować się jaki charakter mają rozwiązania: czy zbiegają się do punktu równowagi, rozchodzą się od niego czy też są zamkniętymi orbitami wokół punktu równowagi.

Na przykład rozwiązując układ

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x'(t)=y(t)\\y'(t)=-x(t)\end{matrix}}\right.}$

z zadanym warunkiem początkowym

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(0)=0\\y(0)=1\end{matrix}}\right.}$

otrzymuje się następujące funkcje:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(t)=\sin {t}\\y(t)=\cos {t}\end{matrix}}\right.}$

Podnosząc je do kwadratu i sumując otrzymuje się jedynkę trygonometryczną ${\displaystyle x^{2}(t)+y^{2}(t)=\sin ^{2}{t}+\cos ^{2}{t}=1,}$ a zatem w płaszczyźnie fazowej otrzymuje się rozwiązanie – trajektorię fazową, która będzie okręgiem o środku w punkcie ${\displaystyle (0,0)}$ i promieniu ${\displaystyle 1,}$ przechodzącą przez punkt początkowy ${\displaystyle (0,1).}$

Metoda płaszczyzny fazowej wykorzystywana bywa do określenia charakteru rozwiązań równań nieliniowych z niewielkimi i gładkimi nieliniowościami. Równania takie pojawiają się często w badaniu różnych układów dynamicznych. Można ją też stosować do badania rozwiązań równań jednowymiarowych drugiego rzędu. Równania takie sprowadza się, przez wprowadzenie zmiennej ${\displaystyle y=dx/dt}$ do układu dwóch równań pierwszego rzędu, które można zanalizować powyższą metodą.

• metoda płaszczyzny fazowej
• przestrzeń fazowa