Pierścień ideałów głównych

Pierścień ideałów głównych (także pierścień główny^[1]) – pierścień komutatywny, którego każdy ideał jest ideałem głównym^[1][2][3]. Jeżeli tylko skończenie generowane ideały są główne, to pierścień nazywa się pierścieniem Bézouta (por. dziedzina Bézouta).

• Każdy pierścień główny jest pierścieniem noetherowskim, ponieważ każdy jego ideał jest generowany przez zbiór jednoelementowy, a zatem skończony.

• Każdy pierścień główny jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.

• Każde dwa elementy ${\displaystyle a,b}$ pierścienia ideałów głównych ${\displaystyle P}$ mają największy wspólny dzielnik ${\displaystyle \operatorname {NWD} (a,b),}$ który daje się zapisać w postaci ${\displaystyle ax+by}$ dla pewnych ${\displaystyle x,y\in P.}$

• W pierścieniu ideałów głównych ${\displaystyle P}$ element ${\displaystyle q\in P}$ jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy ideał generowany przez ten element, ${\displaystyle (q)}$ jest maksymalny, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy ${\displaystyle P/(q)}$ jest ciałem.

• W pierścieniu ideałów głównych każdy ideał pierwszy jest maksymalny.

Pierścieniami głównymi są:

• dziedzina ideałów głównych,
• pierścień Euklidesa,
• pierścień liczb całkowitych,
• pierścień wielomianów o współczynnikach w dowolnym ciele,
• ciało,

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987. Brak numerów stron w książce