Pierścień lokalny

Pierścień lokalny – pierścień przemienny, który ma dokładnie jeden ideał maksymalny^[1][2]. Niektórzy autorzy pierścień przemienny o jedynym ideale maksymalnym nazywają quasi-lokalnym, rezerwując termin pierścień lokalny dla pierścieni quasi-lokalnych i noetherowskich^[3].

Własności

• Pierścień przemienny jest pierścieniem lokalnym wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego każdych dwóch elementów nieodwracalnych jest elementem nieodwracalnym^[4].
• Pierścień ${\displaystyle R}$ jest lokalny i ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ jest jedynym ideałem maksymalnym pierścienia ${\displaystyle R}$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru ${\displaystyle R\setminus {\mathfrak {m}}}$ jest odwracalny^[5].
• Jeżeli ${\displaystyle R}$ jest pierścieniem lokalnym i noetherowskim o ideale maksymalnym ${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$ to

${\displaystyle \bigcap _{n=0}^{\infty }{\mathfrak {m}}^{n}=\{0\}.}$

Jest to szczególny przypadek twierdzenia Krulla o przekroju^[6]. Założenia, że ${\displaystyle R}$ jest pierścieniem noetherowskim nie można pominąć.

Przykłady

• Każde ciało jest pierścieniem lokalnym (jego jedynym ideałem maksymalnym jest ${\displaystyle \{0\}}$).
• Pierścień szeregów formalnych o skończonej liczbie zmiennych i o współczynnikach z ciała jest pierścieniem lokalnym.
• Pierścień lokalny kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych. Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią topologiczną oraz ${\displaystyle p\in X.}$ Rozpatrzmy zbiór par ${\displaystyle (V,f),}$ gdzie ${\displaystyle V}$ jest otoczeniem punktu ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle f\colon V\to \mathbb {R} }$ jest funkcją ciągłą. Określmy relację ${\displaystyle (V_{1},f_{1})\sim (V_{2},f_{2})\iff f_{1}|_{U}=f_{2}|_{U}}$ dla pewnego otoczenia ${\displaystyle U}$ punktu ${\displaystyle p.}$ Relacja ta jest relacją równoważności. Klasę abstrakcji zawierającą parę ${\displaystyle (V,f)}$ oznaczmy ${\displaystyle [V,f].}$ W zbiorze klas abstrakcji możemy wyróżnić ${\displaystyle [X,0]}$ jako element zerowy i ${\displaystyle [X,1]}$ jako jedynkę oraz odpowiednio zdefiniować działania dodawania i mnożenia. Pierścień ten nazywamy pierścieniem lokalnym kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych w punkcie ${\displaystyle p}$ przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ i oznaczamy przez ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,p}.}$ Pierścień ten jest lokalny, gdyż jego jedynym ideałem maksymalnym jest ideał ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{X,p}}$ złożony z wszystkich klas abstrakcji ${\displaystyle [V,f],}$ że ${\displaystyle f(p)=0.}$ Podobnie określa się pierścienie kiełków zespolonych funkcji ciągłych, różniczkowalnych (rzeczywistych bądź zespolonych) funkcji ustalonej klasy ${\displaystyle C^{r}}$ w punkcie ${\displaystyle p}$ rozmaitości różniczkowej ${\displaystyle X,}$ a także pierścień kiełków funkcji regularnych w punkcie rozmaitości algebraicznej.
• Lokalizacja względem ideału pierwszego. Dla dowolnego pierścienia przemiennego ${\displaystyle R}$ i jego ideału pierwszego ${\displaystyle P}$ pierścień złożony z elementów postaci ${\displaystyle {\frac {a}{b}},}$ gdzie ${\displaystyle a\in R,b\in R\setminus P}$ jest pierścieniem lokalnym. Jego ideał maksymalny jest złożony z elementów ${\displaystyle {\frac {a}{b}},}$ dla których ${\displaystyle a\in P.}$
• Dla nierozkładalnego podzbioru ${\displaystyle W}$ zbioru algebraicznego ${\displaystyle V}$ pierścień wszystkich funkcji wymiernych, które są określone na otwartych podzbiorach ${\displaystyle W}$ jest pierścieniem lokalnym, którego ideałem maksymalnym jest zbiór funkcji wymiernych równych 0 na ${\displaystyle W.}$ Dla zbiorów afinicznych jest to lokalizacja pierścienia wielomianów względem ideału radykalnego odpowiadającego podzbiorowi.

Uogólnienie na pierścienie nieprzemienne

Pojęcie pierścienia lokalnego ma dwa (nierównoważne) uogólnienia w klasie pierścieni nieprzemiennych. I tak pierścień (być może nieprzemienny) ${\displaystyle P}$ nazywany jest

• pierścieniem lokalnym, gdy pierścień ilorazowy ${\displaystyle P/\mathrm {rad} \ P}$ jest pierścieniem z dzieleniem;
• pierścieniem semilokalnym, gdy ${\displaystyle P/\mathrm {rad} \ P}$ jest pierścieniem artinowskim.

Ponadto, dla dowolnego pierścienia ${\displaystyle P}$ następujące warunki są równoważne:

1. ${\displaystyle P}$ jest pierścieniem lokalnym;
2. ${\displaystyle P}$ ma dokładnie jeden ideał lewostronny;
3. ${\displaystyle P}$ ma dokładnie jeden ideał prawostronny;
4. zbiór wszystkich elementów nieodwracalnych w ${\displaystyle P}$ jest ideałem;
5. dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in P,}$ o ile tylko element ${\displaystyle a_{1}+\dots +a_{n}}$ jest odwracalny, to istnieje takie ${\displaystyle i\leqslant n,}$ że ${\displaystyle a_{i}}$ jest odwracalny.

Pierścienie lokalne mają dokładnie jeden ideał maksymalny oraz nie mają elementów idempotentnych innych niż 0 i 1. Przykładem nieprzemiennego pierścienia lokalnego jest pierścień macierzy górnotrójkątnych ustalonego stopnia nad pierścieniem z dzieleniem, których wyrazy na głównej przekątnej są sobie równe.

Przypisy

Bibliografia

• M.F. Atiyah, I.G. MacDonald: Introduction to commutative algebra. Westview Press, 1994, s. 4. ISBN 0-201-40751-5.
• Stanisław Balcerzyk, Tadeusz Józefiak: Pierścienie przemienne. PWN, 1985, s. 33, 50. ISBN 83-01-04874-3.
• Jerzy Rutkowski: Algebra abstrakcyjna w zadaniach. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 183. ISBN 978-83-01-14388-6.

Literatura dodatkowa

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1997, s. 142–144.
• Stanisław Balcerzyk: Wstęp do algebry homologicznej. Warszawa: PWN, 1972, s. 284.
• Tsit Yuen Lam: A first course in noncommutative rings. Wyd. Second edition. New York: Springer-Verlag, 2001, s. 284, seria: Graduate Texts in Mathematics, 131. ISBN 0-387-95183-0.