Podziały metaliczne
Podziały metaliczne[1] to dodatnie pierwiastki równania kwadratowego
- .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/Silver_ratio.png/220px-Silver_ratio.png)
Każdy prostokąt zawiera w sobie co najmniej jeden kwadrat o krawędzi równej krótszej krawędzi prostokąta. Jeżeli prostokąt zawiera takich kwadratów a mniejszy prostokąt ma te same proporcje, co można zapisać zależnością jego krawędzi oraz
- ,
spełniają one podział metaliczny; złoty podział dla , srebrny podział dla , brązowy podział dla i tak dalej. Rozwiązanie tej relacji z uwagi na prowadzi do powyższego równania kwadratowego, którego pierwiastki to
- ,
Ponieważ zakłada się, że krawędzie prostokąta definiującego to liczby nieujemne, zwykle rozważane są jedynie dodatnie pierwiastki tego równania.
Własności
Podziały metaliczne mają ciekawe własności. Na przykład
- ,
- ,
- , lub
- .
Gdy zmierza do nieskończoności, czynnik w pierwiastku zanika i dla dużych .
Ponadto
- ,
gdzie współczynniki są definiowane rekurencyjnie przez , oraz .
Dowód |
Widzimy, że zależność ta jest prawdziwa dla . Definicja rekurencji implikuje . Mnożąc równanie definiujące przez mamy
Stąd
|
Ponadto dla wymiernych podziały metaliczne definiowane są przez trójki pitagorejskie[2][3].
Kąty metaliczne
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/04/Golden_angle_in_radians.png/220px-Golden_angle_in_radians.png)
Koncepcję podziałów metalicznych można rozszerzyć na kąty metaliczne jako
- ,
co dla sprowadza się do złotego kąta (137,507764°). Rozwiązanie powyższej relacji z uwagi na prowadzi do równania kwadratowego
- ,
którego pierwiastki to
- .
W porównaniu do podziałów metalicznych, zarówno iloczyny
- ,
jak i sumy kątów metalicznych
- ,
są zależne[3] od , przy czym a .
Zobacz też
- ciąg Fibonacciego
- złoty podział
- srebrny podział
- złota funkcja
- złoty kąt
Przypisy
- ↑ M. Baake, U. Grimm (2013) Aperiodic order. Vol. 1. A mathematical invitation. With a foreword by Roger Penrose. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 149. Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 978-0-521-86991-1.
- ↑ ChetansingCh. Rajput ChetansingCh., Metallic Ratios in Primitive Pythagorean Triples, t. 20, Journal of Advances in Mathematics, 2021, s. 312--344, DOI: 10.24297/jam.v20i.9088 .
- ↑ a b SzymonS. Łukaszyk SzymonS., Metallic Ratios and Angles of a Real Argument, IPI Letters, 2024, s. 26--33, DOI: 10.59973/ipil.55 .