Podziały metaliczne

Złoty i srebrny podział oraz definiujące je prostokąty.

Podziały metaliczne^[1] to dodatnie pierwiastki równania kwadratowego

${\displaystyle M(n)_{\pm }^{2}-nM(n)_{\pm }-1=0}$.

Każdy prostokąt zawiera w sobie co najmniej jeden kwadrat o krawędzi ${\displaystyle h}$ równej krótszej krawędzi prostokąta. Jeżeli prostokąt zawiera ${\displaystyle n}$ takich kwadratów a mniejszy prostokąt ma te same proporcje, co można zapisać zależnością jego krawędzi ${\displaystyle nh+d}$ oraz ${\displaystyle h}$

${\displaystyle M(n)\doteq {\frac {nh+d}{h}}={\frac {h}{d}}}$,

spełniają one podział metaliczny; złoty podział dla ${\displaystyle n=1}$, srebrny podział dla ${\displaystyle n=2}$, brązowy podział dla ${\displaystyle n=3}$ i tak dalej. Rozwiązanie tej relacji z uwagi na ${\displaystyle n}$ prowadzi do powyższego równania kwadratowego, którego pierwiastki to

${\displaystyle M(n)_{\pm }={\frac {n\pm {\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}$,

Ponieważ zakłada się, że krawędzie prostokąta definiującego to liczby nieujemne, zwykle rozważane są jedynie dodatnie pierwiastki ${\displaystyle M(n)_{+}}$ tego równania.

Podziały metaliczne mają ciekawe własności. Na przykład

1. ${\displaystyle M(n)_{-}M(n)_{+}=-1}$,
2. ${\displaystyle M(n)_{-}+M(n)_{+}=n}$,
3. ${\displaystyle -M(-n)_{-}=M(n)_{+}}$, lub
4. ${\displaystyle M(n)_{\pm }=\pm e^{{\text{arcsinh}}(\pm n/2)}}$.

Gdy ${\displaystyle n}$ zmierza do nieskończoności, czynnik ${\displaystyle +4}$ w pierwiastku zanika i ${\displaystyle M(n)_{\pm }\to \{n,0\}}$ dla dużych ${\displaystyle n}$.

Ponadto

${\displaystyle M(n)_{\pm }^{k}=A_{k}M(n)_{\pm }+A_{k-1}}$,

gdzie współczynniki ${\displaystyle A_{k}}$ są definiowane rekurencyjnie przez ${\displaystyle A_{0}\doteq 0}$, ${\displaystyle A_{1}\doteq 1}$ oraz ${\displaystyle A_{k}=nA_{k-1}+A_{k-2}}$.

Dowód

Widzimy, że zależność ta jest prawdziwa dla ${\displaystyle k=1}$. Definicja rekurencji implikuje ${\displaystyle A_{2}=n}$. Mnożąc równanie definiujące przez ${\displaystyle M(n)_{\pm }^{k-2}}$ mamy ${\displaystyle M(n)_{\pm }^{k}-nM(n)_{\pm }^{k-1}-M(n)_{\pm }^{k-2}=0}$. Stąd ${\displaystyle {\begin{aligned}M(n)_{\pm }^{k}&=nM(n)_{\pm }^{k-1}+M(n)_{\pm }^{k-2}=&&{\text{(równanie definiujące)}}\\&=n\left(A_{k-1}M(n)_{\pm }+A_{k-2}\right)+\left(A_{k-2}M(n)_{\pm }+A_{k-3}\right)=&&{\text{(hipoteza rekurencyjna)}}\\&=\left(nA_{k-1}+A_{k-2}\right)M(n)_{\pm }+\left(nA_{k-2}+A_{k-3}\right)=\\&=A_{k}M(n)_{\pm }+A_{k-1}\end{aligned}}}$.

Ponadto dla wymiernych ${\displaystyle n\notin \{0,\pm 2\}}$ podziały metaliczne definiowane są przez trójki pitagorejskie^[2][3].

Koncepcję podziałów metalicznych można rozszerzyć na kąty metaliczne jako

${\displaystyle {\frac {n(2\pi -\varphi )+\varphi }{2\pi -\varphi }}={\frac {2\pi -\varphi }{\varphi }}}$,

co dla ${\displaystyle n=1}$ sprowadza się do złotego kąta ${\displaystyle \varphi (1)_{-}\approx 2,399963}$ (137,507764°). Rozwiązanie powyższej relacji z uwagi na ${\displaystyle \varphi }$ prowadzi do równania kwadratowego

${\displaystyle n\varphi (n)_{\pm }^{2}-2\pi (n+2)\varphi (n)_{\pm }+4\pi ^{2}=0}$,

którego pierwiastki to

${\displaystyle {\frac {\varphi (n)_{\pm }}{\pi }}={\frac {n+2\pm {\sqrt {n^{2}+4}}}{n}}}$.

W porównaniu do podziałów metalicznych, zarówno iloczyny

${\displaystyle {\frac {\varphi (n)_{-}\varphi (n)_{+}}{\pi ^{2}}}={\frac {4}{n}}}$,

jak i sumy kątów metalicznych

${\displaystyle {\frac {\varphi (n)_{-}+\varphi (n)_{+}}{\pi }}=2{\frac {n+2}{n}}}$,

są zależne^[3] od ${\displaystyle n}$, przy czym ${\displaystyle \lim _{n\to \pm \infty }\varphi (n)_{-}\varphi (n)_{+}=0}$ a ${\displaystyle \lim _{n\to \pm \infty }\varphi (n)_{-}+\varphi (n)_{+}=2\pi }$.

• ciąg Fibonacciego
• złoty podział
• srebrny podział
• złota funkcja
• złoty kąt