Zależność promieniowania ciała doskonale czarnego od temperatury. Jaśniejsza linia – promieniowanie według przybliżonego prawa Wiena Prawo Stefana-Boltzmanna – prawo opisujące całkowitą moc wypromieniowywaną przez ciało doskonale czarne w danej temperaturze.
Prawo zostało opracowane doświadczalnie przez Jožefa Stefana w 1878 r., a wykazane na podstawie praw termodynamicznych w 1884 r. przez Ludwiga Boltzmanna[1] .
Wzór Φ = σ T 4 , {\displaystyle \Phi =\sigma T^{4},} gdzie:
Φ {\displaystyle \Phi } – strumień energii wypromieniowywany z jednostki powierzchni ciała [ W / m 2 {\displaystyle \mathrm {W/m^{2}} } ], σ {\displaystyle \sigma } – stała Stefana-Boltzmanna , T {\displaystyle T} – temperatura w skali Kelvina. Stała Stefana-Boltzmanna wynosi[2] :
σ = 2 π 5 k 4 15 h 3 c 2 = 5,670 367 ( 13 ) × 10 − 8 W m 2 K 4 . {\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15h^{3}c^{2}}}=5{,}670367(13)\times 10^{-8}\mathrm {\frac {W}{m^{2}K^{4}}} .}
Wyprowadzenie Prawo Stefana-Boltzmanna można wyprowadzić, korzystając z rozkładu Bosego-Einsteina dla fotonów zamkniętych w pudełku o objętości V. Średnia energia fotonów w danej temperaturze T wynosi:
⟨ E ⟩ = ∫ 0 ∞ ℏ ω ρ ( ω ) 1 exp ( ℏ ω k T ) − 1 d ω , {\displaystyle \langle E\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }\hbar \omega \rho (\omega ){\frac {1}{\exp \left({\frac {\hbar \omega }{kT}}\right)-1}}\mathrm {d} \omega ,} gdzie:
ω {\displaystyle \omega } – częstotliwość fotonów, ρ ( ω ) {\displaystyle \rho (\omega )} – gęstość stanów dla fotonów, ℏ {\displaystyle \hbar } – stała Diraca , k {\displaystyle k} – stała Boltzmanna . Podstawienie wartości
ρ ( ω ) = V ω 2 π 2 c 3 {\displaystyle \rho (\omega )={\frac {V\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}} daje
⟨ E ⟩ = V ℏ π 2 c 3 ∫ 0 ∞ ω 3 1 exp ( ℏ ω k T ) − 1 d ω . {\displaystyle \langle E\rangle ={\frac {V\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}\int \limits _{0}^{\infty }\omega ^{3}{\frac {1}{\exp \left({\frac {\hbar \omega }{kT}}\right)-1}}\mathrm {d} \omega .} Wartością tej całki jest:
⟨ E ⟩ = 6 V ℏ π 2 c 3 ( k T ℏ ) 4 ζ ( 4 ) , {\displaystyle \langle E\rangle ={\frac {6V\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}\left({\frac {kT}{\hbar }}\right)^{4}\zeta (4),} gdzie:
ζ ( 4 ) {\displaystyle \zeta (4)} – wartość funkcji zeta Riemanna. Powyższy wynik jest równoważny prawu Stefana-Boltzmanna.
Zobacz też
Przypisy ↑ Stefana–Boltzmanna prawo , [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-15] . ↑ CODATA Value 2014: Stefan-Boltzmann constant. [dostęp 2015-07-26]. Encyklopedie internetowe (prawo fizyki ):
Britannica: science/Stefan-Boltzmann-law SNL: Stefan-Boltzmanns_lov