Przestrzeń Hausdorffa

Przestrzeń Hausdorffa – wprowadzony przez Feliksa Hausdorffa rodzaj przestrzeni topologicznej o porządnych właściwościach. Ta naturalna własność była początkowo postulowana w definicji przestrzeni topologicznej, jednak wraz z rozwojem teorii wydzielono ją jako jeden z możliwych „aksjomatów oddzielania” nakładanych na abstrakcyjną przestrzeń topologiczną (zob. Przykłady). Z tego powodu o przestrzeniach Hausdorffa mówi się też, iż spełniają aksjomat „${\displaystyle T_{2}}$” bądź, według innej klasyfikacji, aksjomat „${\displaystyle R_{1}}$”; dla zwięzłości określa się je również jako „przestrzenie ${\displaystyle T_{2}}$” (bądź „${\displaystyle R_{1}}$”).

Przestrzeń topologiczną ${\displaystyle X}$ nazywa się przestrzenią Hausdorffa, jeżeli dla dowolnych dwóch różnych jej punktów ${\displaystyle x,y}$ można wskazać ich rozłączne otoczenia ${\displaystyle U,V,}$ tzn. takie rozłączne zbiory otwarte tej przestrzeni, które spełniałyby ${\displaystyle x\in U}$ oraz ${\displaystyle y\in V.}$

Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych spełnia własność Hausdorffa, w szczególności są to przestrzenie: liczb rzeczywistych z topologią naturalną (ogólniej przestrzenie euklidesowe), czy przestrzenie metryczne.

Każda przestrzeń regularna (${\displaystyle T_{3}}$) jest przestrzenią Hausdorffa (${\displaystyle T_{2}}$), lecz niekoniecznie na odwrót: przykładem może być przedział jednostkowy ${\displaystyle X=[0,1]}$ z topologią otrzymaną jako rozszerzenie topologii naturalnej (tzn. prostej rzeczywistej) o zbiór ${\displaystyle [0,1]\setminus \left\{{\frac {1}{n}}\colon n=2,3,4,\dots \right\}.}$

Podobnie każda przestrzeń ${\displaystyle T_{2}}$ jest przestrzenią ${\displaystyle T_{1}}$, choć niewykluczona jest sytuacja odwrotna – przykładami mogą być zbiór liczb rzeczywistych z topologią dopełnień skończonych, w której zbiorami otwartymi są tylko zbiór pusty i zbiory o skończonych dopełnieniach, czy analogicznie definiowaną topologią dopełnień co najwyżej przeliczalnych.

• Przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy przekątna ${\displaystyle \{(x,x)\colon x\in X\}}$ jest zbiorem domkniętym w przestrzeni produktowej ${\displaystyle X\times X.}$
• Niech ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ będą przekształceniami ciągłymi dowolnej przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ w przestrzeń Hausdorffa ${\displaystyle Y.}$ Wówczas zbiór ${\displaystyle \{x\in X\colon f(x)=g(x)\}}$ argumentów, na którym wartości tych funkcji są równe, jest domknięty w ${\displaystyle X.}$ W szczególności, jeśli wykresy ${\displaystyle f,g}$ pokrywają na zbiorze gęstym przestrzeni ${\displaystyle X,}$ to są one równe.
• Ciągi zbieżne w przestrzeni Hausdorffa mają wyłącznie jedną granicę, tzn. granica ciągu zbieżnego jest wyznaczona jednoznacznie.
• Własność „hausdorffowości” przestrzeni jest dziedziczna, tzn. podprzestrzeń przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią Hausdorffa.
• Przestrzeń produktowa przestrzeni Hausdorffa również jest Hausdorffa.
• Zwarte podprzestrzenie przestrzeni Hausdorffa są domknięte (istnieją przestrzenie ${\displaystyle T_{1}}$ niemające tej własności).

• aksjomaty oddzielania: T₀, T₁, T₂, T₃,…

• Engelking Ryszard, Topologia ogólna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2007, ISBN 978-83-01-15254-3, s. 52-53.
• Kuratowski, Kazimierz, Topology, Volume I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966, s. 50–51.