Pochodna, różniczka, czasami: różniczka zupełna funkcji
w punkcie
to przekształcenie liniowe
będące najlepszym liniowym przybliżeniem przyrostu funkcji
w tym punkcie. Różniczkę zupełną da się przedstawić w postaci
![{\displaystyle df(a)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)dx^{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f7e94096d25be7d9f2db089eabb981a1d353e7f)
gdzie
to pochodne rzutowań na
-tą współrzędną względem bazy standardowej
tzn. funkcji
danych wzorami
![{\displaystyle \pi ^{i}(x_{1},\dots ,x_{n}):=x_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e875ad835beef7d0b52767c159d0df775645e138)
Różniczka (tzn. przekształcenie dane wzorem
) jest przykładem
-formy różniczkowej.
Definicja
Niech
będzie zbiorem otwartym. Niech
będzie funkcją różniczkowalną w punkcie
Wówczas różniczka zupełna funkcji
w punkcie
to jej pochodna w punkcie
czyli przekształcenie liniowe
które w pewnym sensie jest najlepszym liniowym przybliżeniem przyrostu
![{\displaystyle f(a+h)-f(a).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f341e4a5c62dc1109eec329da3543711c1a06fe)
W szczególności można napisać
![{\displaystyle f(a+h)-f(a)\approx df(a)(h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95bb0ae9ba54b255ee04aac771f5f35285887a8b)
dla dowolnego
takiego, że
Postać kanoniczna
Pochodna
ma macierz w bazie standardowej
![{\displaystyle [df(a)]=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)\ldots {\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bce6bd9ec789d4624129c23966abb5c798815c7)
Wynika z tego, że pochodna
jest dana wzorem
![{\displaystyle df(a)(h_{1},\dots ,h_{n})=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)\ldots {\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right]{\begin{bmatrix}h_{1}\\\vdots \\h_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)h_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e42ba4533113c775789ad89d38e2de706a23ac24)
W szczególności rzutowania
na
-tą współrzędną względem bazy standardowej
tzn. funkcje dane wzorami
![{\displaystyle \pi ^{i}(x_{1},\dots ,x_{n}):=x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a0ba24aa4d26b1672524a24b13b966d2911a35)
są różniczkowalne i ich pochodne są dane wzorami
![{\displaystyle d\pi ^{i}(a)(h_{1},\dots ,h_{n})=h_{i},\ i=1,\dots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a762ed2b726959d21d4fcd75bbb1c80dcb7323f)
dla dowolnego
Widzimy, że różniczkę można zapisać w postaci
![{\displaystyle df(a)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)d\pi ^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66bf8e1c65bd349d3b99fa213f829debf554e0f5)
(dla prosty oznaczeń piszemy
zamiast
), którą nazywamy postacią kanoniczną. Oznaczając pochodne
przez
można powyższemu wzorowi nadać klasyczną formę
![{\displaystyle df(a)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)dx^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c232d055a0aa02166c546d2c959e1eb27df57f4)
Przykład
Różniczka funkcji
różniczkowalnej w punkcie
ma postać kanoniczną
![{\displaystyle df(a)={\frac {\partial f}{\partial x}}(a)dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}(a)dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}(a)dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc1530676950f27493cbd46898421386405528e)
gdzie:
![{\displaystyle dx(h_{1},h_{2},h_{3})=h_{1},\quad dy(h_{1},h_{2},h_{3})=h_{2},\quad dz(h_{1},h_{2},h_{3})=h_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c8b97e367803dfef09bb9edb429fd15f2efd27)
(dla uproszczenia piszemy
zamiast
itd.).
Przybliżanie przyrostu funkcji za pomocą różniczki
Z definicji różniczki wynika, że za jej pomocą można przybliżać przyrost funkcji. Z własności różniczki wynika, że to przybliżenie ma postać
![{\displaystyle \Delta f:=f(a+\Delta x)-f(a)\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\Delta x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1329684e809cc3d1516ca29fdc1be5b8306dd186)
dla dowolnego
takiego, że
należy do dziedziny
To przybliżenie jest tym lepsze im mniejsze co do normy jest
Trochę nadużywając notacji można
we wzorze
![{\displaystyle df(a)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)dx^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/672e1eacb88fde8955e991b7ccf455fb61857e97)
interpretować jako przyrosty argumentów funkcji
Oznaczenie
odzwierciedla wtedy to, że zakłada się, że są one małe. W szczególności, trochę nadużywając notacji, można napisać, że np.
![{\displaystyle f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\approx df(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/908c535f506377e43a4400ca15ff91e8348a5e49)
Niech
będzie zbiorem otrwartym. Różniczkowalna funkcja
indukuje odwzorowanie
z
w
tj. w przestrzeń przekształceń liniowych z
w
dane wzorem
![{\displaystyle x\mapsto df(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f077c02661dc32c095006d733c674c1c69933f20)
Przekształcenie
nazywamy pochodną funkcji
albo różniczką funkcji
Przekształcenie
spełnia definicję
-formy. Różniczka jest zatem
-formą na zbiorze otwartym
Ogólna
-forma na zbiorze otwartym
ma postać kanoniczną
![{\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}f_{i}dx^{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9160b10a94e737ce3a86df6472906569db09c7b)
gdzie współczynniki
to dowolne funkcje rzeczywiste i niekonicznie muszą być pochodnymi cząstkowymi innej funkcji. Ogólna
-forma na zbiorze otwartym w
ma postać kanoniczną
![{\displaystyle \omega =f\ dx\wedge dy+g\ dx\wedge dz+h\ dy\wedge dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12826729f5fe2bd0f8015e3b3cea26e6e84fb17e)
gdzie
to iloczyn zewnętrzny. Ogólna
-forma na zbiorze otwartym w
ma postać
![{\displaystyle \omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1},\dots ,i_{k}}\ dx^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b30afe93b5af568bc9689a8e610b7a1540c7adf2)
O formie różniczkowej mówi się z definicji, że jest klasy
lub klasy
jeżeli takimi są funkcje
Pochodną zewnętrzną
-formy
nazywa się następującą
formę
![{\displaystyle d\omega :=\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}df_{i_{1},\dots ,i_{k}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/446398b71be5fe36d9e1b8b0c02f348601cdd747)
O formie różniczkowej która jest postaci
dla pewnej formy
mówi się, że jest dokładna. O formie różniczkowej, której pochodna zewnętrzna znika mówi się, że jest zamknięta. Z twierdzenia Schwarza i własności iloczynu zewnętrznego wynika, że
![{\displaystyle d(d\omega )\equiv 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e2dbe1de018f9f02e354bbead3ecf540d5bf0c)
o ile tylko funkcje
są klasy co najmniej
a zatem każda forma dokładna (i klasy co najmniej
) jest zamknięta. Odwrotna implikacja nie musi być prawdziwa, ale jak wynika z Lematu Poincarégo jest prawdziwa na zbiorach otwartych i gwiaździstych.
W szczególności z definicji pochodnej zewnętrznej wynika, że różniczka (zupełna)
jest pochodną zewnętrzną
-formy
czyli zwykłej funkcji. Wynika stąd, że różniczka (zupełna) jest dokładna i zamknięta.
Całka po krzywej zamkniętej
Ponieważ różniczka
jest
-formą to można rozważać jej całkę jako całkę z formy po
-wymiarowej rozmaitości różniczkowej, czyli po krzywej.
![{\displaystyle \int _{\gamma }df.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bcb0edf992bfb51e2469411c06d7bc2ff8d8136)
Ogólne twierdzenie Stokesa mówi, że całka
-formy
po brzegu
-wymiarowej rozmaitości różniczkowej
jest równa (brzeg jest wówczas rozmaitością różniczkową
wymiarową)
![{\displaystyle \int _{\partial M}\omega =\int _{M}d\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9192b6da678b6fed18140a00cbdf2fc05ff3a57c)
Krzywa zamknięta
jest brzegiem pewnej 2-wymiarowej rozmaitości różniczkowej, czyli powierzchni w
Ponieważ różniczka (zupełna) jest zamknięta to z twierdzenia Stokesa dostajemy
![{\displaystyle \int _{\partial M}df=\int _{M}d(df)=\int _{M}0=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ed02dcd23748889eb32d431fd25e55b12c4e33)
a zatem całka z różniczki (zupełnej) po krzywej zamkniętej znika.
Niezależność od drogi całkowania
Rozpatrzmy dwa dowolne punkty
oraz dwie dowolne krzywe je łączące – krzywą
biegnącą z punku
do punktu
oraz krzywą
biegnącą z punktu
do punktu
Krzywe
i
tworzą razem 1-wymiarową rozmaitość różniczkową kawałkami gładką dla której prawdziwe jest Ogólne Twierdzenie Stokesa. Z dyskusji w poprzednim rozdziale dostajemy
![{\displaystyle \int _{\gamma _{1}}df+\int _{\gamma _{2}}df=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb364a935cc5d1a428ee33a6e62d16ff9eba0a8c)
czyli
![{\displaystyle \int _{\gamma _{1}}df=-\int _{\gamma _{2}}df.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa9d2344a5ed7bf02b71946d0ecd8adf6e00c3bc)
Zamieniając parametryzację krzywej
na przeciwną, dostajemy
![{\displaystyle \int _{\gamma _{1}}df=\int _{-\gamma _{2}}df.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76a9fc75e03dd4bea5bf11482b838df67d3b363)
Oznacza to, że całka od punktu
do
z
nie zależy od drogi całkowania.
Twierdzenie o istnieniu różniczki zupełnej
Tw. Jeżeli mamy dane wyrażenie Pfaffa postaci
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})dq_{i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c7fd8b80193a0b32d7f1062ba94dd44053abebb)
gdzie
– dane funkcje zmiennych
to jest ono różniczką zupełną
pewnej funkcji
jeżeli dla każdego
zachodzi:
![{\displaystyle {\frac {\partial f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{j}}}={\frac {\partial f_{j}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/176d108067750c25e1af1d4b392518751af2d3df)
Dowód:
Wychodząc z wyrażenia na różniczkę zupełną
widzimy, że funkcje
mają postacie
![{\displaystyle f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})={\frac {\partial f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2021aad2b32c4eb0a6fa3efa60f04327794c6d84)
i powyższy warunek na istnienie różniczki zupełnej funkcji
sprowadza się do żądania, by równe były pochodne cząstkowe drugiego rzędu
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{j}\partial q_{i}}}={\frac {\partial ^{2}f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c70c9b7e32ad34a94fe0f9b9cc0e09be35d2487d)
– wymóg ten jest zawsze spełniony, jeżeli istnieją powyższe pochodne, cnd.
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
- Michael Spivak: Analiza matematyczna na rozmaitościach. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. Brak numerów stron w książce
Linki zewnętrzne
- 1. Pochodne cząstkowe; 2. Różniczki, 2.1. Różniczka zupełna; Filip A. Wudarski na: www.fizyka.umk.pl (Materiay MMF)