Radykał Jacobsona

Radykał Jacobsona – ideał obustronny J ( R ) {\displaystyle J(R)} pierścienia R {\displaystyle R} będący zbiorem takich elementów r {\displaystyle r} pierścienia, że dla każdego elementu x {\displaystyle x} z pierścienia R {\displaystyle R} istnieje element y {\displaystyle y} taki, że spełniona jest równość

x r + y + x r y = r x + y + y r x = 0. {\displaystyle xr+y+xry=rx+y+yrx=0.}

Jeśli R {\displaystyle R} jest pierścieniem z jedynką, to powyższy warunek redukuje się do następującego:

( 1 + x r ) ( 1 + y ) = 1 = ( 1 + y ) ( 1 + r x ) . {\displaystyle (1+xr)(1+y)=1=(1+y)(1+rx).}

W tym wypadku J ( R ) {\displaystyle J(R)} jest przekrojem wszystkich maksymalnych ideałów lewostronnnych (prawostronnych) i jest różny od całego pierścienia R . {\displaystyle R.} Definicja tego ideału została wprowadzona w 1945 roku przez Nathana Jacobsona[1].

Przypisy

  1. ↑ N. Jacobson, Structure of Rings, „Amer. Math. Soc.”, Providence, 1956 (istnieje też przekład rosyjski „Strojenje kolec”, Moskwa, 1961).

Bibliografia

  • C. Faith, Algebra II. Ring Theory, Springer-Verlag, 1976.