(1) Przykład wprowadzenia rozmaitości różniczkowej klasy na sferze: mapy tworzące tę rozmaitość zawierają linie współrzędnych, które są krzywymi w ogólności niegładkimi (na mapie środkowej i z prawej strony zwrotnik Raka jest krzywą gładką, ale na mapie z lewej ma ostre zagięcie – ta ostatnia krzywa nie ma pochodnej w punkcie zagięcia). (2) Aby rozmaitość różniczkowa była klasy (lub wyższej) trzeba wprowadzić na mapach współrzędne krzywoliniowe, których krzywe współrzędnych są krzywymi gładkim.
Rozmaitość różniczkowa lub rozmaitość różniczkowalna to zbiór, który lokalnie tzn. w otoczeniu każdego punktu wygląda jak (ściślej: jak zbiór otwarty w ), ponadto nie ma kantów. Rozmaitości różniczkowe są podstawowym obiektem badań geometrii różniczkowej.
Naturalne przykłady rozmaitości różniczkowych to podzbiory takie jak sfera i torus jednakże rozmaitości różniczkowe nie muszą być podzbiorami i mogą mieć bardzo złożoną naturę.
Rozmaitość różniczkową definiuje się jako przestrzeń Hausdorffa wyposażoną w zbiór map, które pokrywają całą rozmaitość. Mapy składają się z podzbioru rozmaitości oraz funkcji, która przyporządkowuje punktom tego podzbioru współrzędne. Tę funkcję nazywa się układem współrzędnych. Dopuszcza się istnienia wielu map dla danej rozmaitości, ponieważ w ogólności jedna mapa nie wystarcza do opisania jej w całości. Np. dla sfery nie istnieje (w sensie geometrii różniczkowej) globalny układ współrzędnych, ale można ją odwzorować za pomocą dwóch częściowo pokrywających się map (np. dwóch map nieco większych niż półsfery, zachodzących na siebie), na których wprowadza się współrzędne sferyczne (linie współrzędnych są wtedy funkcjami klasy ).
Bardzo ważnym obiektem związanym z rozmaitościami różniczkowymi jest przestrzeń styczna. Przestrzeń styczna do rozmaitości różniczkowej w punkcie to intuicyjnie zbiór wektorów stycznych do rozmaitości w tym punkcie. Geometria różniczkowa formalizuje tę intuicję. Przestrzeń styczna pozwala mówić o wektorach na zbiorach, które nie mają struktury przestrzeni liniowej i umożliwia zdefiniowanie pól wektorowych i tensorowych na rozmaitościach. Poprzez zdefiniowanie form różniczkowych i całki z formy możliwe jest uprawianie rachunku różniczkowego i całkowego na rozmaitościach.
Wprowadzenie struktury rozmaitości różniczkowej ma duże znaczenie np. w fizyce: w szczególnej i ogólnej teorii względności czas i przestrzeń modeluje się za pomocą 4-wymiarowej czasoprzestrzeni, która jest rozmaitością różniczkową (przy czym dodatkowo określa się geometrię czasoprzestrzeni definiując tzw. tensor metryczny).
Definicja
Mapą na przestrzeni topologicznej w otoczeniu punktu nazwiemy parę , gdzie zawiera , a jest homeomorfizmem. Zbiór nazywamy dziedziną mapy , funkcję nazywamy układem współrzędnych w otoczeniu punktu , funkcję do niej odwrotną nazywa się parametryzacją w otoczeniu punktu , a funkcje , gdzie są rzutowaniami na -tą współrzędną względem bazy standardowej :
nazywamy współrzędnymi wyznaczonymi przez mapę . Zbiór map, których dziedziny pokrywają całe nazywamy atlasem na . Przestrzeń Hausdorffa na której istnieje -wymiarowy atlas nazywamy -wymiarową rozmaitością topologiczną.
Atlas na nazwiemy klasy jeżeli dla dowolnych dwóch map takich, że odwzorowania zamiany współrzędnych i są klasy .
Mapę na nazwiemy -zgodną z atlasem na jeżeli dla każdej mapy takiej, że odwzorowania zamiany współrzędnych są klasy .
Mając dany atlas klasy na możemy dołączyć do niego wszystkie mapy -zgodne z nim. W ten sposób otrzymamy maksymalny atlas . Parę: rozmaitość topologiczną wraz z maksymalnym atlasem klasy nazywamy rozmaitością różniczkową klasy [1].
Funkcje różniczkowalne pomiędzy rozmaitościami
Niech będą rozmaitościami różniczkowymi klasy i niech . Powiemy, że funkcja jest różniczkowalna klasy () w punkcie jeżeli dla pewnej mapy w otoczeniu punktu i dla pewnej mapy w otoczeniu punktu funkcja jest różniczkowalna, klasy w punkcie [2].
W definicji korzystamy z pewnych map, ale definicja nie zależy od wyboru map, gdyż dla innych map w otoczeniu odpowiednio i mamy
Ponieważ odwzorowania zamiany współrzędnych i są klasy , to i są tej samej klasy gładkości.
Funkcję pomiędzy rozmaitościami nazywamy różniczkowalną klasy jeżeli jest różniczkowalna klasy w każdym punkcie swojej dziedziny.
Przestrzeń styczna do -wymiarowej rozmaitości różniczkowej w punkcie to intuicyjnie zbiór wektorów stycznych do rozmaitości w tym punkcie. Wektory te rozpinają -wymiarową przestrzeń liniową co pozwala mówić o wektorach na zbiorach, które nie mają struktury przestrzeni liniowej. Poniższa konstrukcja formalizuje tę intuicję.
Krzywą klasy na przechodzącą przez punkt nazwiemy odwzorowanie klasy dowolnego przedziału w takie, że . Oznaczmy zbiór krzywych klasy przechodzących przez punkt przez . W dokonamy utożsamienia krzywych, które po przeniesieniu do za pomocą pewnej mapy mają równy wektor styczny w zerze. Mianowicie w wprowadźmy relację
Relacja jest relacją równoważności. Relacja ta nie zależy od wyboru mapy [3]. Oznaczmy zbiór klas abstrakcji relacji przez . nazywamy przestrzenią styczną do w punkcie [4].
Zdefiniujmy funkcję wzorem
,
gdzie oznacza klasę abstrakcji krzywej . jest bijekcją i pozwala przenieść strukturę przestrzeni liniowej z do . Działania dodawania wektorów z i mnożenia ich przez skalar definiujemy mianowicie w następujący sposób.
,
Struktura liniowa w uzyskana w ten sposób nie zależy od wyboru mapy [4].
Mapa w otoczeniu punktu na -wymiarowej rozmaitości indukuje bazę daną wzorami
gdzie oznacza bazę standardową [4]. Bazę tę nazywamy bazą naturalną dla mapy . Wektory tej bazy oznacza się również lub podobnie.
Dla rozmaitości różniczkowej klasy oznaczmy zbiór funkcji różniczkowalnych klasy przez tworzy algebrę nad z działaniami zdefiniowanymi punktowo.
Dla punktu na rozmaitości różniczkowej rozpatrzmy zbiór par postaci , gdzie jest pewnym otoczeniem punktu , a jest funkcją różniczkowalną klasy . W zbiorze tym wprowadźmy relację
istnieje otoczenie punktu takie, że dla
Relacja jest relacją równoważności. Klasy abstrakcji tej relacji nazywamy kiełkami funkcji klasy w otoczeniu punktu . Ich zbiór oznaczamy . W możemy wprowadzić strukturę algebry nad definiując działania[2]
Uogólnieniem pochodnej funkcji na przypadek funkcji pomiędzy rozmaitościami jest tzw. odwzorowanie styczne. Niech będą rozmaitościami różniczkowymi. Odwzorowaniem stycznym funkcji różniczkowalnej w punkcie nazywamy odwzorowanie dane wzorem
Odwzorowanie styczne przyjmuje jako argumenty wektory styczne z i "przenosi je" do przestrzeni stycznej analogicznie do pochodnej funkcji , która przenosi wektory z do . Odwzorowanie nazywa się również pochodną funkcji w punkcie lub różniczką funkcji w punkcie i oznacza lub podobnie.
Korzystając z mapy w otoczeniu punktu oraz mapy w otoczeniu punktu można badanie różniczkowalnej funkcji sprowadzić do badania odwzorowania . Wówczas odwzorowanie styczne można zinterpretować jako pochodną w sensie zwykłego rachunku różniczkowego na [6].
Niech oznacza zbiór tensorów typu -krotnie kowariantnych i -krotnie kontrawariantnych na przestrzeni liniowej . Funkcję taką, że nazywamy polem tensorowym typu na -krotnie kowariantnym i -krotnie kontrawariantnym. Innymi słowy pole tensorowe to funkcja, która każdemu punktowi przyporządkowuje tensor na przestrzeni stycznej do rozmaitości w tym punkcie[7].
W bazie naturalnej dla mapy można pole tensorowe na -wymiarowej rozmaitości przedstawić lokalnie tzn. w dziedzinie tej mapy w następujący sposób[8]
gdzie oznacza iloczyn tensorowy, a oznacza bazę dualną do bazy tzn. daną wzorami
Funkcje nazywamy naturalnymi współrzędnymi pola (w mapie )[8]. Jeżeli funkcje te są klasy (gładkie) w punkcie to pole nazywamy klasy (gładkim) w punkcie . Definicja ta nie zależy od wyboru mapy[8]. Pole nazywamy klasy (gładkim) jeżeli jest klasy (gładkim) w każdym punkcie rozmaitości.
Bardzo ważnymi polami tensorowymi są antysymetryczne, kowariantne pola tensorowe, czyli formy różniczkowe, ponieważ to jedyne pola tensorowe, które można całkować. W lokalnym układzie współrzędnych można lokalnie, tzn. w dziedzinie mapy , przedstawić -formę różniczkową na -wymairowej rozmaitości różniczkowej w postaci
gdzie oznacza tzw. iloczyn zewnętrzny.
Jeżeli forma różniczkowa na ma nośnik zwarty i zawarty w dziedzinie mapy to całkę z niej definiujemy
gdzie to forma cofnięta przez parametryzację . jest już formą różniczkową na zbiorze otwartym w i całkę z niej można zdefiniować jako całkę Lebesgue'a.
W przypadku ogólnej formy różniczkowej na zwartej rozmaitości różniczkowej korzystamy z gładkiego rozkładu jedynki, żeby przedstawić w postaci
ma już nośnik zwarty i zawarty w dziedzinie pewnej mapy w związku z czym możemy zdefiniować
Formy różniczkowe można też różniczkować. Pochodną zewnętrzną formy definiujemy jako
gdzie oznacza odwzorowanie styczne funkcji . W definicji korzystamy z pewnej mapy, ale pochodna zewnętrzna nie zależy od wyboru mapy.
Głównym twierdzeniem rachunku form różniczkowych jest Ogólne twierdzenie Stokes'a: Jeżeli jest zwartą, zorientowaną, -wymiarową rozmaitością różniczkową z brzegiem , to dla -formy na
Jeżeli w definicji rozmaitości różniczkowej przyjemy to otrzymaną rozmaitość nazwiemy rozmaitością gładką[1]. Rozmaitości gładkie różnią się od pozostałych rozmaitości tym, że w ich przypadku przestrzeń styczną można zdefiniować w sposób algebraiczny.
Niech będzie rozmaitością gładką. Funkcjonałem różniczkowym na algebrze nazwiemy funkcjonał liniowy taki, że dla każdych
Przestrzenią styczną do w punkcie nazywamy przestrzeń liniową funkcjonałów różniczkowych na .[9] Oznaczmy ją . Zdefiniujmy wzorem
.
Funkcja dana wzorem
jest naturalnym izomorfizmem (tzn. izomorfizmem niezależnym od wyboru bazy).
Definicja "algebraiczna" jest bardziej abstrakcyjna i mniej intuicyjna, ale często wygodna w użyciu.
Niech będzie gładką rozmaitością różniczkową i niech będzie polem wektorowym na . Ponieważ dla jest już wektorem stycznym z to w związku z tym, co zostało powiedziane w poprzednim podrozdziale można uważać za funkcjonał różniczkowy. Wynika z tego, że pole wektorowe na przyporządkowuje funkcji funkcję daną wzorem
Na rozmaitościach gładkich można pola wektorowe, podobnie jak przestrzeń styczną, zdefiniować czysto algebraicznie jako różniczkowania[10]: dla pola wektorowego funkcja dana wzorem
jest różniczkowaniem algebry tzn. dla dowolnych spełnia
Odwrotnie: jeżeli jest liniowym różniczkowaniem algebry to
Tensorem metrycznym na rozmaitości różniczkowej nazywamy dwukrotnie kowariantne pole tensorowe takie, że jest iloczynem skalarnym tzn. dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową[11]. Parę: rozmaitość różniczkową wraz ze zdefiniowanym na niej tensorem metrycznym nazywamy rozmaitością riemannowską.
W mapie możemy lokalnie przedstawić na -wymiarowej rozmaitości różniczkowej w postaci
Dzięki strukturze riemannowskiej można mówić o kątach pomiędzy wektorami, o długości krzywych na rozmaitości. Dzięki temu możliwe jest zdefiniowanie linii geodezyjnych.