Rozszerzenie ciała
Rozszerzenie ciała – większe (w sensie inkluzji) ciało zawierające dane ciało. Na przykład ciało liczb rzeczywistych jest rozszerzeniem ciała liczb wymiernych; ciało liczb zespolonych jest rozszerzeniem ciał liczb rzeczywistych (więc także wymiernych). Rozszerzenia ciał są centralnym pojęciem teorii Galois. Wyróżnia się wiele rodzajów rozszerzeń ciał ze względu na ich własności.
Każde rozszerzenie ciała oznaczane zwyczajowo lub [a], jest przestrzenią liniową nad Wymiar tej przestrzeni oznacza się przez i nazywa stopniem rozszerzenia
Rozszerzenie ciała o pierwiastki wielomianu
Z teorii równań algebraicznych wynika, że każdy niesprzeczny układ równań nad ciałem ma rozwiązanie w pewnym ciele W szczególności, jeżeli jest wielomianem o współczynnikach z ciała to istnieje rozszerzenie ciała które zawiera pierwiastek wielomianu
Mówimy, że ciało jest rozszerzeniem ciała o pierwiastek wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy [b].
Dla przykładu, ciało liczb zespolonych jest rozszerzeniem ciała liczb rzeczywistych o pierwiastek wielomianu
Jeśli jest rozszerzeniem ciała oraz to
Rozszerzenie o pierwiastek danego wielomianu nie jest wyznaczone jednoznacznie w przypadku gdy wielomian jest rozkładalny. W przypadku gdy dany wielomian jest nierozkładalny, to rozszerzenia wyznacza się z dokładnością do izomorfizmu.
Mówimy, że ciało jest ciałem rozkładu wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian rozkłada się w pierścieniu na czynniki liniowe oraz
gdzie są wszystkimi pierwiastkami w ciele
Dla każdego wielomianu stopnia dodatniego istnieje jego ciało rozkładu. Dowolne dwa ciała rozkładu tego wielomianu są izomorficzne.
Rozszerzenie algebraiczne
Zobacz też: element algebraiczny i rozszerzenie algebraiczne.
Rozszerzenie ciała nazywamy algebraicznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element jest algebraiczny nad
Dla przykładu, każdy element ciała skończonego jest algebraiczny nad podciałem prostym, zawartym w tym ciele.
Dla rozszerzenia i następujące warunki są równoważne
- jest algebraiczny nad
Stopień rozszerzenia nazywa się stopniem elementu algebraicznego Stopień ten jest równy stopniowi wielomianu nierozkładalnego takiemu, że a także minimalnemu stopniowi niezerowego wielomianu takiego, że
Rozszerzenie rozdzielcze
Zobacz też: element rozdzielczy.
Rozszerzenie ciała nazywamy rozdzielczym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element jest rozdzielczy nad
Jeśli ciało ma charakterystykę równą to każde jego rozszerzenie algebraiczne jest rozdzielcze. W szczególności, każde algebraiczne rozszerzenie ciała liczb wymiernych jest rozdzielcze.
Rozszerzenie czysto przestępne
Rozszerzenie ciała nazywamy czysto przestępnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór algebraicznie niezależny taki że
Rozszerzenia skończone
Rozszerzenie ciała nazywa się skończonym wtedy i tylko wtedy, gdy ma skończony stopień, tzn.
Każde rozszerzenie skończone jest algebraiczne. Jeśli jest ciągiem rozszerzeń ciał, to rozszerzenie jest skończone wtedy i tylko wtedy, gdy rozszerzenia i są skończone. Ponadto
Rozszerzenie normalne
Osobny artykuł: Rozszerzenie normalne.
Rozszerzenie ciała nazywamy normalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest algebraiczne i dla każdego wielomian nierozkładalny którego pierwiastkiem jest rozkłada się w na czynniki liniowe.
Uwagi
- ↑ Oznaczenie to nie będzie stosowane w dalszej części artykułu jako mylące (pokrywającej się z oznaczeniem struktur ilorazowych).
- ↑ W dalszej części artykułu będzie oznaczać najmniejsze (w sensie inkluzji) ciało zawierające zbiór natomiast przez najmniejszy (w sensie inkluzji) pierścień zawierający ten zbiór.
Bibliografia
- Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Extension Field, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-27].
Extension of a field (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-27].