Tożsamość Lagrange’a to następująca równość:
![{\displaystyle \sum _{1\leqslant i<k\leqslant n}(a_{i}b_{k}-a_{k}b_{i})^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff4a11fddbbbf7b86a7a43d05fde61f903299d3)
To samo, lecz inaczej:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\sum _{k=i+1}^{n}(a_{i}b_{k}-a_{k}b_{i})^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9e486a41406bb5025f8ad4172d5799642a2458b)
Nazwa równości pochodzi od znakomitego matematyka francuskiego Lagrange’a.
Jeśli zauważyć, że lewa strona tej równości jest zawsze nieujemna, z tożsamości Lagrange’a natychmiast otrzymujemy klasyczną nierówność Schwarza.
Tożsamość Lagrange’a w algebrze zewnętrznej
W terminach iloczynu zewnętrznego, tożsamość Lagrange’a można zapisać jako
![{\displaystyle (a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}=(a\wedge b)\cdot (a\wedge b).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbadaa69818f5323ae5ad8ce43e4328d6bd4fb0e)
Można ją więc postrzegać jako wzór wyrażający długość wektora – iloczynu zewnętrznego dwu wektorów (równą polu równoległoboku rozpiętego na tych wektorach) w terminach iloczynu skalarnego tych wektorów:
![{\displaystyle \|a\wedge b\|={\sqrt {(\|a\|\ \|b\|)^{2}-\|a\cdot b\|^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0703d0c380f6f5fce1fd794ff122999a8c4aa7be)
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Lagrange's Identity, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-02-02].
iloczyny sum kwadratów | ustalonej liczby składników | |
---|
dowolnej liczby składników | |
---|
|
---|
inne iloczyny sum | |
---|
inne | |
---|