Twierdzenie Abela o szeregach potęgowych

Twierdzenie Abela o szeregach potęgowych – twierdzenie analizy zespolonej wiążące zbieżność szeregu potęgowego w punkcie brzegu koła zbieżności ze zbieżnością funkcji reprezentowanej przez szereg wewnątrz koła dla argumentów zbieżnych do tego punktu po pewnej drodze udowodnione przez norweskiego matematyka Nielsa Henrika Abela.

Niech ${\displaystyle (a_{n})}$ będzie ciągiem zespolonym: ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }.}$ Jeżeli szereg ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ jest zbieżny oraz funkcja zespolona określona w kole jednostkowym ${\displaystyle f:\{z:|z|<1\}\to \mathbb {C} }$ jest dana wzorem ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ to wówczas ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{z\to 1}f(z),}$ gdy ${\displaystyle z}$ dąży do 1 po drodze zawartej pomiędzy dwiema cięciwami koła zbieżności wychodzącymi z punktu 1.

Uwagi: Przykładem takiej drogi może być odcinek otwarty ${\displaystyle (0,\,1).}$ Przypadek dowolnego skończonego promienia zbieżności i punktu z jego brzegu może być sprowadzony do promienia 1 i punktu 1.

Oznaczając przez ${\displaystyle s_{n}}$ sumy częściowe szeregu ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n},}$ a przez ${\displaystyle s}$ jego sumę i korzystając z przekształcenia Abela można zapisać:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=s_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(s_{n}-s_{n-1})z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}(z^{n}-z^{n+1})=(1-z)\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}z^{n}}$

Zgodnie ze wzorem na granicę szeregu geometrycznego: ${\displaystyle s=(1-z)\sum _{n=0}^{\infty }sz^{n},}$ a zatem:

${\displaystyle f(z)-s=(1-z)\sum _{n=0}^{\infty }(s_{n}-s)z^{n}}$

Ze zbieżności szeregu wynika, że można dobrać takie ${\displaystyle N,}$ by dla każdego ${\displaystyle n>N}$ wartość wyrażenia ${\displaystyle s_{n}-s}$ była dostatecznie mała (mniejsza od ustalonego ${\displaystyle \varepsilon >0}$).

Suma pierwszych ${\displaystyle N}$ wyrazów szeregu ${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}(s_{n}-s)z^{n}}$ jest dla dowolnego ${\displaystyle z}$ z koła zbieżności ograniczona przez stałą ${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}|s_{n}-s|.}$ Ponieważ dla ${\displaystyle z}$ dostatecznie bliskich 1 wartość ${\displaystyle |1-z|}$ jest dowolnie mała, wyrażenie ${\displaystyle (1-z)\sum _{n=0}^{N}(s_{n}-s)z^{n}}$ dąży do zera.

Korzystamy z potęgi punktu 1 względem okręgu o środku 0 przechodzącego przez ${\displaystyle z}$ dla prostych przechodzących przez ${\displaystyle z}$ (wtedy jeden z odcinków ma długość ${\displaystyle |1-z|}$) i 0 (wtedy jeden z odcinków ma długość ${\displaystyle 1-|z|}$).

Wnioskujemy, że jeśli ${\displaystyle z}$ leży pomiędzy pewnymi cięciwami (można zakładać, że cięciwy są symetryczne względem ${\displaystyle (0,1),}$ bo zmiana cięciwy pod mniejszym kątem na symetryczną do drugiej zwiększa obszar zawarty między nimi), a ${\displaystyle |z|>r,}$ gdzie ${\displaystyle r}$ to promień okręgu o środku 0 stycznego do obu cięciw (dla ${\displaystyle z}$ dostatecznie bliskich 1 można tak zakładać), to zachodzi nierówność:

${\displaystyle {\frac {|1-z|}{1-|z|}}<{\frac {2}{l}}}$

gdzie ${\displaystyle l}$ jest długością odcinka pomiędzy 1 a punktem styczności cięciwy.

Dla ${\displaystyle |z|<1}$ zachodzi:

${\displaystyle (1-z)\sum _{n=N+1}^{\infty }(s_{n}-s)z^{n}\leqslant |1-z|\varepsilon \sum _{n=N+1}^{\infty }|z|^{n}=\varepsilon |z|^{N+1}{\frac {|1-z|}{1-|z|}}}$

i ze względu na ograniczoność ${\displaystyle {\frac {|1-z|}{1-|z|}}}$ i dowolność wyboru ${\displaystyle \varepsilon ,}$ wyrażenie może być dowolnie małe. Zatem również ${\displaystyle f(z)-s}$ jest dla ${\displaystyle z}$ dostatecznie bliskich 1 dowolnie małe.

• Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: PWN, 1973. Brak numerów stron w książce

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Abel’s Convergence Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).