Twierdzenie Berry-Essena

Twierdzenie Berry’ego-Esseena – twierdzenie rachunku prawdopodobieństwa, które daje pewne oszacowanie szybkości zbieżności w centralnym twierdzeniu granicznym.

Motywacja

Centralne twierdzenie graniczne (w wersji dla niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie) mówi w istocie, że

${\displaystyle {\mathsf {P}}\left({\frac {X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}}{\sigma {\sqrt {n}}}}\leqslant t\right)\to \phi (t)}$

gdy ${\displaystyle n\to \infty .}$ Naturalnym jest pytanie o odległość tych dwóch funkcji w normie supremum i badanie jak maleje ona wraz z ${\displaystyle n.}$ Całkiem satysfakcjonującą odpowiedź na nie daje nierówność Berry’ego-Esseena: jedynym dodatkowym wymaganiem jest skończoność trzeciego momentu modułu zmiennej.

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots X_{n}}$ będą takimi niezależnymi zmiennymi losowymi określonymi na wspólnej przestrzeni probabilistycznej, że

• ${\displaystyle {\mathsf {E}}X_{i}=0,}$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\mathsf {Var}}(X_{i})=1,}$
• ${\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{i}|^{3}<\infty }$ dla każdego ${\displaystyle i\leqslant n.}$

Wówczas istnieje taka stała ${\displaystyle L\geqslant 0,}$ że

${\displaystyle \sup _{t}\left|{\mathsf {P}}\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\leqslant t\right)-\phi (t)\right|\leqslant L\cdot \sum _{i=1}^{n}{\mathsf {E}}|X_{i}|^{3}.}$

Wniosek

Jako wniosek można przedstawić nieco inne, niekiedy dogodniejsze, sformułowanie twierdzenia.

Niech ${\displaystyle X,X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ będą jednakowymi niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej zero, wariancji równej ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ i dla których ${\displaystyle {\mathsf {E}}|X|^{3}<\infty .}$

Wówczas

${\displaystyle \sup _{t}\left|{\mathsf {P}}\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{\sigma {\sqrt {n}}}}\leqslant t\right)-\phi (t)\right|\leqslant L\cdot {\frac {{\mathsf {E}}|X|^{3}}{\sigma ^{3}{\sqrt {n}}}}}$^[1].

Dowód wniosku

Niech ${\displaystyle {\tilde {X_{i}}}={\frac {X_{i}}{\sigma {\sqrt {n}}}},}$ przez co

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\mathsf {E}}{\tilde {X_{i}}}^{2}=1.}$

Zmienne ${\displaystyle {\tilde {X_{i}}}}$ spełniają wtedy założenia twierdzenia i zastosowanie go daje tezę wniosku, gdyż

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\mathsf {E}}|{\tilde {X_{i}}}|^{3}={\frac {1}{\sigma ^{3}n^{\frac {3}{2}}}}n{\mathsf {E}}|X|^{3}={\frac {{\mathsf {E}}|X|^{3}}{\sigma ^{3}{\sqrt {n}}}}.}$

Uwagi

Stała L jest szacowana z coraz większą dokładnością, poczynając od ${\displaystyle L=0.7975}$ (von Beek, 1972^[2]), przez ${\displaystyle L=0.7655}$ (Shiganov, 1986^[3]), ${\displaystyle L=0.7056}$ (Shevtsova, 2007^[4]), ${\displaystyle L=0.5129}$ (Shevtsova, 2008^[5]), aż do ${\displaystyle L=0.6379}$ w przypadku ogólnym oraz ${\displaystyle L=0.5894}$ dla sumy zmiennych o takich samych rozkładach (Tyurin, 2009^[6]).

Oszacowanie jest asymptotycznie dobre, istnieje przykład pokazujący, że stała ${\displaystyle L}$ z twierdzenia musi spełniać nierówność

${\displaystyle L\geqslant {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\approx 0{,}4.}$

Przykład

Ponieważ prawdziwość twierdzenia Berry’ego-Esseena ze stałą ${\displaystyle L}$ implikuje prawdziwość wniosku dla jednakowych, niezależnych zmiennych losowych ze stałą ${\displaystyle L}$ to dla wskazania kontrprzykładu dla pewnej stałej wystarczy wskazać kontrprzykład dla tej stałej dla wniosku.

Niech ${\displaystyle X,X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ będą jednakowymi, niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że ${\displaystyle {\mathsf {P}}(X=\pm 1)={\tfrac {1}{2}}.}$ Wówczas ${\displaystyle \sigma ^{2}=1.}$ Niech ${\displaystyle n=2k,k\in \mathbb {Z} .}$

Wówczas

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathsf {P}}\left({\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{\sqrt {n}}}\leqslant 0\right)-\phi (0)\\={}&{\frac {1+{\mathsf {P}}(X_{1}+\ldots +X_{n}=0)}{2}}-{\frac {1}{2}}\\={}&{\tfrac {1}{2}}{\mathsf {P}}(X_{1}+\ldots +X_{n}=0)={\tfrac {1}{2}}2^{-2k}{\tbinom {2k}{k}}.\end{aligned}}}$

Ze wzoru Stirlinga wynika

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}({\tfrac {n}{e}})^{n}(1+O({\tfrac {1}{n}})).}$

Zatem

${\displaystyle 2^{-2k}{\tbinom {2k}{k}}=2^{-2k}{\frac {(2k)!}{(k!)^{2}}}=2^{-2k}{\frac {\sqrt {4\pi n}}{2\pi n}}{\frac {({\frac {2k}{e}})^{2k}}{({\frac {k}{e}})^{2k}}}(1+O({\tfrac {1}{n}}))={\frac {1}{\sqrt {nk}}}(1+O({\tfrac {1}{n}})).}$

Stąd zaś

${\displaystyle {\mathsf {P}}\left({\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{\sqrt {n}}}\leqslant 0\right)-\phi (0)={\frac {1}{\sqrt {2\pi n}}}(1+O({\tfrac {1}{n}})),}$

co jest oszacowaniem dolnym ${\displaystyle L,}$ które wynosi ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}.}$

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Chen, Po-Ning (2002). Asymptotic Refinement of the Berry-Esseen Constant