Twierdzenie Dooba – Niech ciąg
będzie martyngałem, a
i
skończonymi p.n. momentami stopu, takimi, że
![{\displaystyle E|X_{\tau _{i}}|<\infty ,\,i=1,2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3987f656a846471854cda526ab5ee47a102e663f)
![{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }E(|X_{n}|1_{\{\tau _{i}>n\}})=0,\,i=1,2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13dc2b56569946e73bafb1f53e5a7c2f69a912cf)
Wtedy
na zbiorze
prawie na pewno.
Gdy
to
prawie na pewno, czyli ciąg
jest martyngałem.
Czasami wygodniej jest skorzystać z nieco mniej ogólnej wersji twierdzenia:
Niech ciąg
będzie nadmartyngałem (lub analogicznie – martyngałem) i niech
będą dwoma ograniczonymi momentami stopu. Wtedy ciąg
jest nadmartyngałem (martyngałem).
Bibliografia
- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004. ISBN 83-89716-02-X. Brak numerów stron w książce