Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym – w teorii prawdopodobieństwa, twierdzenie pozwalające na obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń, które mogą zajść w konsekwencji zajścia innych zdarzeń, takich jak doświadczenia wieloetapowe.

Niech ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathsf {P}})}$ będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech

${\displaystyle \{H_{i}\colon i\in I\}\subset {\mathcal {F}}}$

będzie rodziną zdarzeń o dodatnim prawdopodobieństwie, które tworzą rozbicie przestrzeni ${\displaystyle \Omega ,}$ tj.

• ${\displaystyle H_{i}\cap H_{j}=\varnothing \quad (i,j\in I,i\neq j),}$
• ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\,H_{i}=\Omega ,}$
• ${\displaystyle {\mathsf {P}}(H_{i})>0\quad (i\in I).}$

Wówczas dla dowolnego zdarzenia ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ zachodzi wzór

${\displaystyle {\mathsf {P}}(A)=\sum _{i\in I}{\mathsf {P}}(A\mid H_{i}){\mathsf {P}}(H_{i}),}$

przy czym ${\displaystyle {\mathsf {P}}(A\mid H_{i})}$ oznacza prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia ${\displaystyle A}$ pod warunkiem zajścia ${\displaystyle H_{i}.}$

Uwaga. Ze skończoności miary ${\displaystyle {\mathsf {P}}}$ wynika, że rodzina ${\displaystyle \{H_{i}\colon i\in I\}}$ składa się z co najwyżej przeliczalnie wielu zbiorów. Zdarzenia ${\displaystyle H_{i}}$ nazywane są czasem hipotezami^[1].

Korzystając z definicji prawdopodobieństwa warunkowego oraz właściwości samego prawdopodobieństwa, mamy

${\displaystyle {\mathsf {P}}(A)={\mathsf {P}}\left(\bigcup _{i\in I}A\cap H_{i}\right)=\sum _{i\in I}{\mathsf {P}}(A\cap H_{i})=\sum _{i\in I}~{\mathsf {P}}(A\mid H_{i}){\mathsf {P}}(H_{i}).}$

Typowym zastosowaniem jest sytuacja w której dane zdarzenie może zajść na kilka sposobów, przy czym każdy sposób realizuje się z określonym prawdopodobieństwem. Twierdzenie – zgodnie ze swą nazwą – pozwala obliczyć całkowite prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia.

Żarówki pewnej marki są produkowane w dwóch fabrykach X i Y. Żarówki z fabryki X działają dłużej niż 5000 godzin w 99% przypadków, żarówki z fabryki Y tylko w 95% przypadków. Fabryka X dostarcza na rynek 60% żarówek tej marki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zakupiona losowo żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin?

Twierdzenie podaje odpowiedź:

${\displaystyle {\mathsf {P}}(A)={\mathsf {P}}(A|B_{1})\cdot {\mathsf {P}}(B_{1})+{\mathsf {P}}(A|B_{2})\cdot {\mathsf {P}}(B_{2})={\frac {99}{100}}\cdot {\frac {6}{10}}+{\frac {95}{100}}\cdot {\frac {4}{10}}={\frac {594+380}{1000}}={\frac {974}{1000}},}$

gdzie:

• ${\displaystyle {\mathsf {P}}(B_{1})={\frac {6}{10}}}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie X;
• ${\displaystyle {\mathsf {P}}(B_{2})={\frac {4}{10}}}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie Y;
• ${\displaystyle {\mathsf {P}}(A|B_{1})={\frac {99}{100}}}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu X;
• ${\displaystyle {\mathsf {P}}(A|B_{2})={\frac {95}{100}}}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu Y.

Losowo zakupiona żarówka będzie działać dłużej niż 5000 godzin w 97,4% przypadków.

Do założeń poprzedniego twierdzenia dodajmy zdarzenie ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}$ dla którego ${\displaystyle P(B)>0.}$ Zachodzi wtedy wzór^[2]:

${\displaystyle {\mathsf {P}}(A|B)=\sum _{i\in I}{\mathsf {P}}(A|B\cap H_{i}){\mathsf {P}}(H_{i}|B).}$

Można, jak w poprzednim przypadku, przekształcić prawą stronę, otrzymując w ten sposób lewą, lub też zauważyć, że

${\displaystyle {\mathsf {P}}(\cdot |B)={\mathsf {P}}_{B}(\cdot )}$

jest miarą probabilistyczną, a zatem jest więc sens mówić o ${\displaystyle {\mathsf {P}}_{B}(A|C),}$ tj. prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia ${\displaystyle A}$ pod warunkiem zajścia zdarzenia ${\displaystyle C,}$ gdy wiemy, że zaszło zdarzenie ${\displaystyle B.}$ Zachodzi równość^[2]:

${\displaystyle {\mathsf {P}}_{B}(A|H)={\frac {{\mathsf {P}}_{B}(A\cap H)}{{\mathsf {P}}_{B}(H)}}={\frac {{\mathsf {P}}(A\cap H\cap B)/{\mathsf {P}}(B)}{{\mathsf {P}}(H\cap B)/{\mathsf {P}}(B)}}={\mathsf {P}}(A|H\cap B).}$

Twierdzenie to jest więc wzorem na prawdopodobieństwo całkowite dla prawdopodobieństwa ${\displaystyle {\mathsf {P}}_{B}(\cdot ).}$

• wzór Bayesa

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.