Twierdzenie sinusów lub wzór sinusów – twierdzenie dotyczące zależności między kątami i bokami w trójkącie.
Treść twierdzenia
W dowolnym trójkącie na płaszczyźnie, iloraz długości dowolnego boku i sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na trójkącie.
Omawiane wyżej twierdzenie sinusów jest twierdzeniem geometrii euklidesowej, czyli tzw. geometrii płaskiej i ma swoje odpowiedniki w geometriach nieeuklidesowych
W geometrii eliptycznej mamy wzór:
Tutaj a,b,c są długościami odcinków sferycznych, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Dowód pierwszego wzoru znajduje się w następnej sekcji (przeprowadzony jest w jednym z możliwych modeli tej geometrii).
Analogicznie w geometrii hiperbolicznej, przyjąwszy tzw. metrykę naturalną, dostajemy:
Tutaj a, b, c są długościami odcinków, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Jak widać, jeśli argumentem jest długość odcinka, to zamiast sin używamy sinh.
Spostrzeżenie, że umożliwia bardziej spójne spojrzenie na temat. Otóż, jeśli K oznacza krzywiznę Gaussa powierzchni oraz to otrzymamy następujący wzór:
Dla K>0 mamy trygonometrię na sferze o promieniu
Dla K<0 mamy trygonometrię na pseudosferze o promieniu równym Ponieważ jest tutaj urojony więc można też ten przypadek traktować jak sferę o promieniu urojonym Niekiedy sugestywnie ujmuje się to następująco: trygonometria hiperboliczna jest trygonometrią sferyczną na sferze o promieniu urojonym.
Jeśli a,b,c oznaczają długości odcinków sferycznych, α β, γ są kątami umieszczonymi naprzeciw boków odpowiednio a,b,c to zachodzi wzór
Dowód
Nazwijmy wektorem centralnym taki, który ma początek w środku sfery jednostkowej.
Długość odcinka sferycznego jest kątem między centralnymi wektorami, których końce są punktami ograniczającymi odcinek sferyczny.
Kąt między dwiema prostymi sferycznymi, czyli kołami wielkimi jest kątem między płaszczyznami zawierającymi te koła wielkie, a ten z kolei jest kątem między wektorami prostopadłymi do obu tych płaszczyzn.
Jeśli mamy dwa końcowe punkty odcinka sferycznego będące końcami centralnych wektorów x, y to Iloczyn skalarny xy tych wektorów jest równy cosinusowi kąta między wektorami x, y, czyli cosinusowi długości tego odcinka. Czyli
Jeśli mamy dwa punkty na sferze będące końcami centralnych wektorów x, y, to korzystając z pojęcia iloczynu wektorowego, możemy wyznaczyć wektor prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na x, y jako Zgodnie z definicją długość takiego iloczynu wektorowego jest równa sinusowi kąta między wektorami x, y, czyli sinusowi długości odcinka
Rozważmy wyrażenie:
Z jednej strony powyższy iloczyn wektorowy ma długość równą iloczynowi długości obu czynników oraz sinusa kąta między obu czynnikami, czyli kąta między płaszczyzną rozpiętą na wektorach x,z oraz płaszczyzną rozpiętą na wektorach x,y. Ten ostatni kąt jest równy α. Czyli:
Z drugiej strony na mocy znanej własności dostajemy:
ponieważ
Stąd
rys. 2
Ponieważ (rys. 2) dla iloczynu mieszanego zachodzi
gdzie jest długością wysokości trójkąta opuszczonej na bok b, to dostajemy zależność
a po uproszczeniu
Prowadząc analogiczne rozważania dla wyrażenia
dostajemy zależność
Rugując z obu zależności trygonometrycznych dostajemy
Jeśli a, b, c, a′, b′, c′ są długościami krawędzi czworościanu przy czym primowane leżą naprzeciw odpowiednich nieprimowanych, oraz jeśli α, β, γ, α', β', γ' są kątami krawędziowymi przy analogicznych krawędziach, to
Dowód
Niech oznaczają kąty złożone z dowolnych nie leżących naprzeciw siebie krawędzi.
Jeśli są kątami płaskimi przy wierzchołku S czworościanu SABC odpowiednio między ramionami: SB i SC, SA i SC, SA i SB, zaś kątami dwuściennymi leżącymi naprzeciw nich, czyli kątami krawędziowymi SA, SB, SC. Wówczas zachodzi wzór:
Dowód polega na zrzutowaniu punktu A na płaszczyznę SBC (rzut – A′) i przedstawieniu stosunku długości AA′ do OA za pomocą funkcji trygonometrycznych kątów występujących przy rzutowaniu najpierw na prostą SB lub SC i porównaniu wyrażeń.